零点高端问题题目3

$已知函数 f (x) = {\begin{cases} | 3^{x + 1} - 1 |, x \leq 0 \\ \ln x, x > 0 \end{cases} 若函数 g (x) = [f (x)]^{2} - 2 a f (x) + a^{2} - 1$
$恰有 4 个不同的零点，求 a 的取值范围$

解析：

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$复合函数问题，方法采取还原分离$
$t = f (x), y = t^{2} - 2 a t + a^{2} - 1$
$由题可得， y = t^{2} - 2 a t + a^{2} - 1 函数必须有两个不同零点， t_{1} 、 t_{2}, 设 t_{1} < t_{2}$
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$第一种情况 t_{1} < 0, 0 < t_{2} < 1$
$∴ t^{2} - 2 a t + a^{2} - 1 = 0 的两根分别在 (- \infty, 0) 和区间 (0, 1)$
如何保证条件
$令 h (t) = t^{2} - 2 a t + a^{2} - 1 {\begin{cases} h (0) < 0 \\ h (1) > 0 \end{cases} 是否可行？$

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$第二种情况如图， t_{1} = 0, 1 \leq t_{2} \leq 2 ，即 h (t) = t^{2} - 2 a t + a^{2} - 1 ，$
$有一个零点为 0 ，另一个零点在区间 [1, 2]$
$h (0) = 0 \Rightarrow a = \pm 1, t_{2} = 2 a, 最终得到， a = 1 成立$

$第三种情况， t_{1} \in (0, 1), t_{2} \in (2, + \infty), 即 h (t) = t^{2} - 2 a t + a^{2} - 1 的零点分别在区间 (0, 1) 和 (2, + \infty)$
${\begin{cases} h (0) > 0 \\ h (1) < 0 \\ h (2) < 0 \end{cases}$

综上： $- 1 < a < 0, 或 1 \leq a < 2$