基底化运算

$\mathrm{在}\mathrm{△}ABC\mathrm{中},D,E\mathrm{在}BC\mathrm{上},\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EC},|\overrightarrow{AD}|={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}},$
$\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\mathrm{的}\mathrm{夹}\mathrm{角}\mathrm{为}{\displaystyle \frac{\pi }{6}},\mathrm{求}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}$