💖对数概念及运算法则

#对数定义 #自然对数 #常用对数 #对数恒等式 #对数运算法则 #换底公式 #基本不等式

📚定义

$a^{b} = N (a > 0, a \neq 1), a 叫底数， b 叫指数， N 叫幂值$
$b = \log_{a} N ， a 叫底数， N 叫真数， b 叫对数$

📚自然对数和常用对数

lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n} = e

$\log_{e} M = \ln M$
$l o g_{10} M = \lg M$

📚运算法则

1. $\log_{a} (M N) = \log_{a} M + \log_{a} N$
2. $\log_{a} (\frac{M}{N}) = l o g_{a} M - \log_{a} N$
3. $\log_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} \log_{a} b$
4. $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$
5. $a^{\log_{a} b} = b, b = \log_{a} a^{b}$
6. $a^{\log_{c} b} = b^{\log_{c} a}$
7. $\log_{a} A = \log_{b} B = \log_{a b} C \Rightarrow A B = C$ (比例性质)
8. $\sqrt{\lg a \lg b} \leq \frac{\lg a + \lg b}{2} = \lg \sqrt{a b} \leq \lg \frac{a + b}{2} = \lg (a + b) - \lg 2 (a > 1, b > 1)$