零点高端问题题目1

解析
题目的综合特征复合函数，函数图像，换元的方法清晰的逻辑
第一点作图能力

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第二点复合函数的处理能力
$令 t = f (x) 则会变为 f (t) = a, f (x) = t$
分两步处理：
第一步： $f (t) = a, 考虑 y = f (t) 与 y = a 的交点考虑出现 t_{1}, t_{2}, t_{3} (从小到大)$
第二步： $f (x) = t 得出 x$

第三步分类讨论
$a < 0, 只会出现一个 t$
$a = 0 和 a > 3 会出现两个 t$
$0 < a \leq 3, 会出现 3 个 t$
然后是对t值得大小判断
$按本题要求必须是 3 个 t 才可以满足条件$
即要求 $0 < a \leq 3$
$此时得到 t_{1} < 0, 0 \leq t_{2} < 2, t_{3} > 2$
然后是处理
$f (x) = t_{1}, f (x) = t_{2}, f (x) = t_{3}$
$f (x) = t_{1} < 0, \Rightarrow 一个零点$
$f (x) = t_{2} \in [0, 2), 2 个或者 3 个零点，在 a = 3 时， t_{2} = 0, 是两个，其他是三个$
$f (x) = t_{3} \in (2, + \infty), 2 个或者三个零点， a \in (0, 3) 时， t_{3} \in (2, \log_{2} 7) 3 个，$
$∴ a \in (0, 3) 时有 7 个零点$