根的分布题目5

$关于 x 的方程 a x^{2} - (2 a - 1) x - 2 = 0 有两个不相等的实根 x_{1}, x_{2}, 且 x_{1} < 1 < x_{2},$
$求 a 的取值范围$
解析：
$a = 0 不成立$

Note

方法一：（韦达定理）
${\begin{cases} Δ > 0 \\ (x_{1} - 1) (x_{2} - 1) < 0 \end{cases}$

Note

方法二：（二次函数数形结合）
$设 f (x) = a x^{2} - (2 a - 2) x - 2$
${\begin{cases} a > 0 \\ f (1) < 0 \end{cases}$
或
${\begin{cases} a < 0 \\ f (1) > 0 \end{cases}$

Tip

方法二优化
$a f (1) < 0 \Rightarrow a (- a - 1) < 0 \Rightarrow a < - 1 或 a > 0$