有理化题目3

本题为复合函数，所以采取换元分离的方式完成判断
$t=\sqrt{x^2+1}-x,y=\lg t$
只需判断$t=\sqrt{x^2+1}-x$的单调性
定义域为$R$,
$x\le 0\mathrm{时}，\sqrt{x^2+1}\mathrm{为}\mathrm{减}\mathrm{函}\mathrm{数}，-x\mathrm{也}\mathrm{是}\mathrm{减}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}(-\mathrm{\infty },0]\mathrm{递}\mathrm{减}$,

$x\ge 0,\mathrm{就}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{用}\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{化}\mathrm{方}\mathrm{法}\mathrm{判}\mathrm{断}t=\sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$（$\mathrm{分}\mathrm{子}\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{化}$）

$\mathrm{此}\mathrm{时}\sqrt{x^2+1}+x\mathrm{为}\mathrm{增}\mathrm{函}\mathrm{数}，\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\mathrm{为}\mathrm{减}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$\therefore ,t=\sqrt{x^2+1}-x\mathrm{在}R\mathrm{上}\mathrm{递}\mathrm{减}$

$\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{化}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{是}\mathrm{省}\mathrm{略}\mathrm{好}\mathrm{多}\mathrm{事}$