对数函数再来

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=|\lg (x-1)|,\mathrm{若}f(a)=f(b)(a<b),M=\frac{a}{a-1}+\frac{2}{b-1},\mathrm{求}M\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{值}$
解析：
$\mathrm{由}\mathrm{题}\mathrm{可}\mathrm{知}(a-1)(b-1)=1$
$M=1+\frac{1}{a-1}+\frac{2}{b-1}=1+\frac{1}{a-1}+2(a-1)$
$\mathrm{设}a-1=t\in (0,1)$
$M=1+2t+\frac{1}{t}\ge 1+2\sqrt{2}$
$\mathrm{当}\mathrm{且}\mathrm{仅}\mathrm{当}，t=\frac{\sqrt{2}}{2},\mathrm{即}x=1+\frac{\sqrt{2}}{2},\mathrm{等}\mathrm{号}\mathrm{成}\mathrm{立}$