基本不等式题目3

$已知 x > 0, y > 0, x + y = 1, 4 x + 1 \geq m x y 恒成立，求 m 的最大值$

Tip

此题属于变异不等式，重在找到合理的形式，化不熟悉为熟悉

解析：

方案一：从熟悉的等式形式寻求帮助 $1 的代换 4 x + x + y \geq m x y \Rightarrow 5 x + y \geq m x y, 此为熟悉格式$

Note

$类比 x + y = 1, 求 \frac{1}{x} + \frac{5}{y} 的最小值$

$∴ m \leq \frac{1}{x} + \frac{5}{y} 恒成立$

Tip

💖齐次化方法
$\frac{x + y}{x} + \frac{5 (x + y)}{y} = 6 + \frac{y}{x} + \frac{5 x}{y} \geq 6 + 2 \sqrt{5}$

Note

权方和不等式
$\frac{1}{x} + \frac{5}{y} \geq \frac{(1 + \sqrt{5})^{2}}{x + y} = 6 + 2 \sqrt{5}$

方案二：通用方法，直接代换法
$y = 1 - x, 直接代换得到 4 x + 1 \geq m x (1 - x)$
$分离参数， m \leq \frac{4 x + 1}{x - x^{2}}$

Tip

转化为函数求最值问题

$求 f (x) = \frac{4 x + 1}{x - x^{2}} 的最小值$

Step

$t = 4 x + 1 \in (0, 5)$
$\frac{4 x + 1}{x - x^{2}} = \frac{16 t}{- t^{2} + 6 t - 5} = \frac{16}{6 - (t + \frac{5}{t})}$
$\geq \frac{16}{6 - 2 \sqrt{5}} = 6 + 2 \sqrt{5}$