基本不等式解答

$\mathrm{题}\mathrm{设}\mathrm{可}\mathrm{变}\mathrm{形}\mathrm{式}$
$(a+b{)}^2-ab=1$
$(a-b{)}^2+3ab=1$

可联立的不等式
$a+b\ge 2\sqrt{ab},\mathrm{有}\mathrm{符}\mathrm{号}\mathrm{限}\mathrm{制}$
$ab\le \frac{(a+b{)}^2}{4}\mathrm{无}\mathrm{符}\mathrm{号}\mathrm{限}\mathrm{制}$
$a^2+b^2\ge 2ab\mathrm{无}\mathrm{符}\mathrm{号}\mathrm{限}\mathrm{制}$

1.组合效果
$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2+ab=1\\ a^2+b^2\ge 2ab\end{array}$
$1\ge ab+2ab\Rightarrow ab\le \frac{1}{3}$

2.组合效果
$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2+ab=1\\ a^2+b^2\ge 2ab\end{array}$
$1\le a^2+b^2+\frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow a^2+b^2\ge \frac{2}{3}$

3.组合效果
$\{\begin{array}{l}(a+b{)}^2-ab=1\\ ab\le \frac{(a+b{)}^2}{4}\end{array}$
$(a+b{)}^2-1=ab\le \frac{(a+b{)}^2}{4}\Rightarrow (a+b{)}^2\le \frac{4}{3}$
$-\frac{2}{\sqrt{3}}\le a+b\le \frac{2}{\sqrt{3}}$

$(a+b{)}^2-1=ab\Rightarrow ab\ge -1$

$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2+ab=1\\ (a+b{)}^2-ab=1\end{array}$
$\mathrm{两}\mathrm{式}\mathrm{子}\mathrm{相}\mathrm{加}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{得}\mathrm{到}(a+b{)}^2=2-(a^2+b^2)\ge 0$
$\therefore a^2+b^2\le 2$