参变分离题目3

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=e^x+a{e}^{-x}\mathrm{是}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{其}\mathrm{中}e\mathrm{为}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{对}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{底}\mathrm{数}$
$(1)\mathrm{求}a\mathrm{的}\mathrm{值}$
$(2)\mathrm{若}\mathrm{关}\mathrm{于}x\mathrm{的}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}f(x)+m{e}^{-x}-1-m\ge 0\mathrm{在}[\ln 3,+\mathrm{\infty })\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}，\mathrm{求}m\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}$

解析：
$(1)\mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}，f(x)\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{为}R，f(-x)=f(x)$
$\mathrm{则}\mathrm{有}，e^{-x}+a{e}^x=e^x+a{e}^{-x}\Rightarrow (a-1)(e^x-e^{-x})=0\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}$
$\therefore a=1$
$(2)\mathrm{题}\mathrm{设}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}\mathrm{可}\mathrm{化}\mathrm{为}{e}^x+e^{-x}+m{e}^{-x}-1-m\ge 0$
$\mathrm{整}\mathrm{理}\mathrm{可}\mathrm{得}，m(1-e^{-x})\le e^x+e^{-x}-1$
$\mathrm{即}m(e^x-1)\le e^{2x}-e^x+1$
$\because x\in [\ln 3,+\mathrm{\infty })$
$\therefore e^x\ge 3,e^x-1\ge 2$
$m\le \frac{e^{2x}-e^x+1}{e^x-1}$
$\mathrm{令}t=e^x-1\ge 2$
$\mathrm{则}\mathrm{有}m\le \frac{(t+1{)}^2-t}{t}=t+\frac{1}{t}+1$
$\mathrm{函}\mathrm{数}y=t+\frac{1}{t}+1\mathrm{在}[2,+\mathrm{\infty })\mathrm{上}\mathrm{递}\mathrm{增}$
$\therefore m\le \frac{7}{2}$