二次函数综合类1

题目5$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=x^2-ax+a-b$
$(1)\mathrm{当}a=b=2\mathrm{时}，\mathrm{求}f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[-2,3]\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}；$
$(2)\mathrm{若}\mathrm{\forall }x\in R,f(x)\ge 0,\mathrm{求}b\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}，\mathrm{并}\mathrm{求}\mathrm{当}b\mathrm{取}\mathrm{得}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{时}f(b)\mathrm{的}\mathrm{值}$
$(3)\mathrm{若}\mathrm{\exists }t\in [1,3],\mathrm{使}\mathrm{得}f(t)=-b,\mathrm{求}a\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}$
解析：
$(1)f(x)=x^2-2x,x\in [-2,3],\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}\mathrm{为}x=1$
$f(x)\mathrm{在}[-2,1]\mathrm{减}，[1,3]\mathrm{增}$
$f(-2)>f(3)$
$\therefore f(x{)}_{m}ax=f(-2)=8$
$(2)\mathrm{由}\mathrm{题}\mathrm{可}\mathrm{得}，\mathrm{\Delta }=a^2-4(a-b)\le 0$
$\mathrm{即}4b\le -a^2+4a=-(a-2{)}^2+4\le 4$
$\therefore b\le 1$
$\mathrm{此}\mathrm{时}，a=2,f(b)=f(1)=1-2+2-1=0$
$(3)f(t)=-b\Rightarrow t^2-at+a=0\mathrm{在}t\in [1,3]\mathrm{有}\mathrm{解}$

$t=1\mathrm{时}，1=0，\mathrm{不}\mathrm{成}\mathrm{立}$
$t\ne 1\mathrm{时}，a=\frac{t^2}{t-1}$
$\mathrm{求}\frac{t^2}{t-1}\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}\mathrm{即}\mathrm{可}$
$\frac{t^2}{t-1}=\frac{t^2-1+1}{t-1}$
$=t+1+\frac{1}{t-1}=t-1+\frac{1}{t-1}+2$
$s=t-1\in (0,2]$
$\frac{t^2}{t-1}=s+\frac{1}{s}+2\ge 4$💖对勾函数
$\therefore a\ge 4$