三角函数性质综合5

两种写法供参考
方法一：直接法
先求出$y=\sin (\omega x+\frac{\pi }{3})\mathrm{的}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{减}\mathrm{区}\mathrm{间}，\mathrm{带}\omega \mathrm{表}\mathrm{示}$
$2k\pi +\frac{\pi }{2}\le \omega x+\frac{\pi }{3}\le \frac{3\pi }{2}+2k\pi ,k\in Z$
$\frac{2k\pi }{\omega }+\frac{\pi }{6\omega }\le x\le \frac{7\pi }{6\omega }+\frac{2k\pi }{\omega }$

由题意
$(\frac{\pi }{2},\pi )\subseteq [\frac{2k\pi }{\omega }+\frac{\pi }{6\omega },\frac{7\pi }{6\omega }+\frac{2k\pi }{\omega }]$
$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\ge \frac{2k\pi }{\omega }+\frac{\pi }{6\omega }\\ \pi \le \frac{7\pi }{6\omega }+\frac{2k\pi }{\omega }\end{array}\Rightarrow \frac{1}{3}+4k\le \omega \le \frac{7}{6}+2k$
$\mathrm{只}\mathrm{有}k=0，\mathrm{得}\mathrm{到}\frac{1}{3}\le \omega \le \frac{7}{6}$

为什么只能$k=0?$

方法二：
用复合函数角度考虑，把$\omega x+\frac{\pi }{3}\mathrm{看}\mathrm{作}\mathrm{整}\mathrm{体}$

$\because x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$
$\therefore \omega x+\frac{\pi }{3}\in (\frac{\omega \pi }{2}+\frac{\pi }{3},\omega \pi +\frac{\pi }{3})$
$\therefore (\frac{\omega \pi }{2}+\frac{\pi }{3},\omega \pi +\frac{\pi }{3})\subseteq [\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi ],k\in Z$

$\{\begin{array}{l}\frac{\omega \pi }{2}+\frac{\pi }{3}\ge \frac{\pi }{2}+2k\pi \\ \omega \pi +\frac{\pi }{3}\le \frac{3\pi }{2}+2k\pi \end{array}\Rightarrow$
$\frac{1}{3}+4k\le \omega \le \frac{7}{6}+2k$
后面略。。。

$(\frac{\omega \pi }{2}+\frac{\pi }{3},\omega \pi +\frac{\pi }{3})$作为单调区间，其长度不大于半个周期
$\therefore \omega \pi +\frac{\pi }{3}-(\frac{\omega \pi }{2}+\frac{\pi }{3})=\frac{\omega \pi }{2}\le \frac{T}{2}=\pi$

$0<\omega \le 2$

这是一个很有用的隐含条件，在处理一些问题时很有用