202602121

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=2\sqrt{3}\sin x\sin (x-\frac{\pi }{2})-2{\cos }^{2}x+1$
$(1)\mathrm{讨}\mathrm{论}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}[\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{6}]\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{性}$
$(2)\mathrm{若}f(x_0)=-\frac{6}{5},x_0\in [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}],\mathrm{求}\cos 2x_0\mathrm{的}\mathrm{值}$

$f(x)=2\sqrt{3}\sin x(-\cos x)-\cos 2x$
$\mathrm{诱}\mathrm{导}\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{和}\mathrm{二}\mathrm{倍}\mathrm{角}\mathrm{余}\mathrm{弦}\mathrm{公}\mathrm{式}$
$f(x)=-\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x$
$\mathrm{二}\mathrm{倍}\mathrm{角}\mathrm{正}\mathrm{弦}\mathrm{公}\mathrm{式}$
$f(x)=-2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x)$
$f(x)=-2\sin (x+\frac{\pi }{6})$
$\mathrm{辅}\mathrm{助}\mathrm{角}\mathrm{公}\mathrm{式}（\mathrm{化}\mathrm{一}）$

$\mathrm{整}\mathrm{体}\mathrm{思}\mathrm{想}$
$(1)\because x\in [\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{6}]$
$\therefore 2x+\frac{\pi }{6}\in [\frac{2\pi }{3},\frac{11\pi }{6}]$
$\mathrm{当}\frac{2\pi }{3}\le x\le \frac{3\pi }{2},\mathrm{即}\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{2\pi }{3}\mathrm{时}，y=\sin (2x+\frac{\pi }{6})\mathrm{递}\mathrm{减}$
$f(x)=-2\sin (2x+\frac{\pi }{6})\mathrm{递}\mathrm{增}$
$\mathrm{当}\frac{3\pi }{2}\le x\le \frac{11\pi }{6},\mathrm{即}\frac{2\pi }{3}\le x\le \frac{5\pi }{6}\mathrm{时}，y=\sin (2x+\frac{\pi }{6})\mathrm{递}\mathrm{增}$
$f(x)=-2\sin (2x+\frac{\pi }{6})\mathrm{递}\mathrm{减}$
$\therefore f(x)\mathrm{在}[\frac{\pi }{4},\frac{2\pi }{3}]\mathrm{上}\mathrm{递}\mathrm{增}，\mathrm{在}[\frac{2\pi }{3}，\frac{5\pi }{6}]\mathrm{上}\mathrm{递}\mathrm{减}$

$-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x+\frac{\pi }{6}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in Z$
$\mathrm{解}\mathrm{的}-\frac{\pi }{3}+k\pi \le x\le \frac{\pi }{6}+k\pi$
$f(x)\mathrm{的}\mathrm{减}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{为}\cdots [-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{6}],[\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6}],[\frac{5\pi }{3}\frac{13\pi }{6}]\cdots$
$f(x)\mathrm{的}\mathrm{增}\mathrm{区}\mathrm{间}\mathrm{为}\cdots [\frac{\pi }{6},\frac{2\pi }{3}],[\frac{7\pi }{6},\frac{5\pi }{3}],[\frac{13\pi }{6}\frac{8\pi }{3}]\cdots$
$\because x\in [\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{6}]$
$\therefore f(x)\mathrm{在}[\frac{\pi }{4},\frac{2\pi }{3}]\mathrm{上}\mathrm{递}\mathrm{增}，\mathrm{在}[\frac{2\pi }{3}，\frac{5\pi }{6}]\mathrm{上}\mathrm{递}\mathrm{减}$

$\mathrm{小}\mathrm{题}\mathrm{做}\mathrm{法}\mathrm{是}\mathrm{五}\mathrm{点}\mathrm{作}\mathrm{图}$

整体思想
$(2)\mathrm{由}(1)\mathrm{可}\mathrm{知},f(x_0)=-2\sin (2x_0+\frac{\pi }{6})=-\frac{6}{5}$
$\mathrm{不}\mathrm{要}\mathrm{急}\mathrm{于}\mathrm{展}\mathrm{开}，\mathrm{先}\mathrm{观}\mathrm{察}\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{角}\mathrm{和}\mathrm{所}\mathrm{求}\mathrm{角}\mathrm{的}\mathrm{关}\mathrm{系}$
$\mathrm{即}\sin (2x_0+\frac{\pi }{6})=\frac{3}{5}$
$\because x_0\in [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$
$\therefore 2x_0+\frac{\pi }{6}\in [\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6}]$
$\therefore \cos (2x_0+\frac{\pi }{6})=-\frac{4}{5}$
$\cos 2x_0=\cos [(2x_0+\frac{\pi }{6})-\frac{\pi }{6}]$
$=\cos (2x_0+\frac{\pi }{6})\cos \frac{\pi }{6}+\sin (2x_0+\frac{\pi }{6})\sin \frac{\pi }{6}=\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$
$\mathrm{虽}\mathrm{然}\mathrm{是}\mathrm{二}\mathrm{倍}，\mathrm{但}\mathrm{用}\mathrm{的}\mathrm{确}\mathrm{不}\mathrm{是}\mathrm{二}\mathrm{倍}\mathrm{角}\mathrm{公}\mathrm{式}，$
$\mathrm{角}\mathrm{度}\mathrm{关}\mathrm{系}\mathrm{在}\mathrm{解}\mathrm{决}\mathrm{问}\mathrm{题}\mathrm{是}\mathrm{是}\mathrm{要}\mathrm{优}\mathrm{先}\mathrm{考}\mathrm{虑}\mathrm{的}\mathrm{因}\mathrm{素}$

graph TB
A[诱导公式]-->B[消去特殊角]
B-->C[降幂]
C-->D[辅助角公式化一]
D-->E["$化为A\sin(\omega x+\varphi)$"]
F[整体思想]-->G[带范围求单调区间]
H[直接求单调区间给k赋值]-->G
F-->I[观察已知角和所求角关系求值]