202602042

$\mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=\cos 2x-2\cos x,x\in R$
$(1)\mathrm{求}f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[0,\pi ]\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{值}$
$(2)\mathrm{判}\mathrm{断}f(x)\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{象}\mathrm{是}\mathrm{否}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}?\mathrm{若}\mathrm{存}\mathrm{在},\mathrm{写}\mathrm{出}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}\mathrm{方}\mathrm{程},$
$\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在},\mathrm{说}\mathrm{明}\mathrm{理}\mathrm{由}.$
$(3)\mathrm{依}\mathrm{据}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{的}\mathrm{性}\mathrm{质}，\mathrm{求}f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[0,2026]\mathrm{的}\mathrm{零}\mathrm{点}\mathrm{个}\mathrm{数}$
$\mathrm{参}\mathrm{考}\mathrm{数}\mathrm{据}：644\pi \approx 2023.19,645\pi \approx 2026.33,646\pi \approx 2029.47$

$(1)f(x)=2{\cos }^{2}x-1-2\cos x$
$\mathrm{设}t=\cos x\in [-1,1]$
$\mathrm{则}\mathrm{原}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{可}\mathrm{化}\mathrm{为}y=2t^2-2t-1=2(t-{\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}$
$f(x{)}_{max}=f(-1)=3,f(x{)}_{min}=f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

$\mathrm{首}\mathrm{先}f(-x)=f(x),f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}y\mathrm{轴}\mathrm{对}\mathrm{称}$
$y=\cos 2x\mathrm{关}\mathrm{于}x={\displaystyle \frac{k\pi }{2}}\mathrm{对}\mathrm{称},y=\cos x\mathrm{关}\mathrm{于}x=k\pi \mathrm{对}\mathrm{称}$
$\mathrm{所}\mathrm{以}f(x)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}\mathrm{为}x=k\pi ,k\in Z$

$f(x)\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{正}\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{为}2\pi$
$\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{先}\mathrm{研}\mathrm{究}[0,2\pi ]\mathrm{的}\mathrm{零}\mathrm{点}\mathrm{个}\mathrm{数}$
$2{\cos }^{2}x-1-2\cos x=0\mathrm{可}\mathrm{得}\cos x={\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}\mathrm{或}\cos x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}（\mathrm{舍}）$
$\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[0,2\pi ],\mathrm{根}\mathrm{据}y=\cos x\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{象}\mathrm{可}\mathrm{知}\cos x={\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}\mathrm{由}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{根}$
$\mathrm{所}\mathrm{以}y=f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[0,2\pi ]\mathrm{内}\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{零}\mathrm{点}$
$\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[0,\pi ]\mathrm{和}\mathrm{区}\mathrm{间}[\pi ,2\pi ]\mathrm{各}\mathrm{一}\mathrm{个}$
$\mathrm{且}{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}=\cos x>\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{零}\mathrm{点}\mathrm{在}[0,{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}]\mathrm{和}[{\displaystyle \frac{5\pi }{4}},2\pi ]$
$\mathrm{则}f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[0,644\pi ]\mathrm{共}\mathrm{有}644\mathrm{个}\mathrm{零}\mathrm{点}$
$644\pi <2026<644\pi +{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$
$\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{在}[644\pi ,2026]\mathrm{只}\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{零}\mathrm{点}$
$\mathrm{综}\mathrm{上}f(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}[0,2026]\mathrm{上}\mathrm{共}645\mathrm{个}\mathrm{零}\mathrm{点}。$