202602041

题目、

$已知函数 f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) - \cos ω x (ω > 0) 图象的两条相邻$
$对称轴键的距离为 \frac{π}{4}$
$(1) 求 f (x) 的解析式$
$(2) 先将 f (x) 图象上所有点的横坐标扩大为原来的 2 倍 (纵坐标不变) ，$
$再将所得图象向左平移 \frac{π}{3} 个单位长度，得到函数 g (x) 图象若关于 x 的$
$方程 g (x) = m 在 [\frac{π}{6}, \frac{4 π}{3}] 上恰有 3 个根 x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3}),$
$求实数 m 的取值范围和 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} 的值$

解析

$(1) 化一$
$f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin ω x + \frac{1}{2} \cos ω x - \cos ω x$
$= \frac{\sqrt{3}}{2} \sin ω x - \frac{1}{2} \cos ω x$
$= \sin (ω x - \frac{π}{6})$
$∵ 两条相邻对称轴键的距离为 \frac{π}{4}$
$∴ 周期 T = \frac{π}{2}, ω = 4$
$∴ f (x) = \sin (4 x - \frac{π}{6})$

Continue

$(2) 由题可得 g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{2}) = \cos 2 x$

$2 x$		$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$	$\frac{5 π}{2}$
$x$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3 π}{4}$	$π$	$\frac{5 π}{4}$	$\frac{4 π}{3}$
$\cos 2 x$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$	$0$	$1$	$0$	$- \frac{1}{2}$

Continue

$由图可知 m \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$
$根据对称性， x_{1} + x_{2} = π, x_{2} + x_{3} = 2 π$
$∴ x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 3 π$