202601313

题目

$已知 △ A B C 中, | \vec{A B} | = 2, | \vec{A C} | = 1, | λ \vec{A B} + (2 - 2 λ) \vec{A C} | 的最小值为 \sqrt{3}$
$若 P 为边 A B 上任意一点, 求 \vec{A P} \cdot \vec{P C} 的最大值$

$记 \vec{A Q} = λ \vec{A B} + (2 - 2 λ) \vec{A C} = λ \vec{A B} + (1 - λ) 2 \vec{A C}$
$令 \vec{A C^{'}} = 2 \vec{A C}$
$则 \vec{A Q} = λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A C^{'}}$
$∴ B, Q, C^{'} 三点共线$

$P 点在直线 B C^{'} 上$
$A B = A C^{'} = 2, Q^{'} 为 B C^{'} 的中点， Q Q^{'} = \sqrt{3}$
$△ A B C^{'} 为等边三角形$

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$\vec{A P} \cdot \vec{P C} = - \vec{P A} \cdot \vec{P C}$
$设 A C 的中点为 N$
$由极化恒等式 \vec{P A} \cdot \vec{P C} = P N^{2} - A N^{2} = P N^{2} - \frac{1}{4}$
$\vec{A P} \cdot \vec{P C} = - P N^{2} + \frac{1}{4} 即求 P N 的最小值，当 P N ⊥ A B 时最小$
$所以 \vec{A P} \cdot \vec{P C} 的最大值 \frac{1}{8}$