202601311

题目1

$已知向量 \vec{a}, \vec{b}, \vec{e}, | \vec{e} | = 1 若非零向量 \vec{a} 与 \vec{e} 的夹角为 \frac{π}{3}, 向量 \vec{b} 满足$
${\vec{b}}^{2} - 6 \vec{b} \cdot \vec{e} + 5 = 0, 求 | \vec{a} - \vec{b} | 的最小值$

此法适合与高三

$设 \vec{a} = (m, n), \vec{b} = (x, y), \vec{e} = (1, 0)$
$\vec{a} 与 \vec{e} 的夹角为 \frac{π}{3} 可得 \vec{a} \cdot \vec{e} = m = \frac{1}{2} | \vec{a} | = \frac{1}{2} \sqrt{m^{2} + n^{2}}$
$∴ n^{2} = 3 m^{2} \Rightarrow n = \pm \sqrt{3} m$
$由 {\vec{b}}^{2} - 6 \vec{b} \cdot \vec{e} + 5 = 0 可得$
$x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$
$| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{(x - m)^{2} + (y - n)^{2}}$
$几何意义：表示圆 x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0 上一点 (x, y) 和直线 n = \pm \sqrt{3} m 上一点 (m, n) 的距离最小值$
$即圆心 (3, 0) 到直线 y = \pm \sqrt{3} m 的距离减去半径 2$
$最小值为 \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 2$

几何法

${\vec{b}}^{2} - 6 \vec{b} \cdot \vec{e} + 5 = 0 可得 {\vec{b}}^{2} - 6 \vec{b} \cdot \vec{e} + 5 {\vec{e}}^{2} = 0$
$即 (\vec{b} - \vec{e}) \cdot (\vec{b} - 5 \vec{e}) = 0$
$设 \vec{O E} = \vec{e}, \vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, 5 \vec{e} = \vec{O E^{'}}$
$\vec{b} - \vec{e} = \vec{E B}$
$\vec{b} - 5 \vec{e} = \vec{E^{'} B}$
$\vec{E B} ⊥ \vec{E^{'} B}$
$B 在以 E E^{'} 为直径的圆上$

$P 为圆心，圆的半径为 2 ，最小距离为 A 在 Q 位置， P Q - 2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} - 2$