202601295

题目1

$已知 \vec{a}, \vec{b} 是两个非零向量, | \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |, \vec{a} - \vec{b} 在 \vec{a} 上的投影向量为 \frac{1}{2} \vec{a}$
$对于 t \in R, | t \vec{a} - \vec{b} | 的最小值为 \sqrt{3}, 求 | \vec{a} |$

分解成三个问题
$两个方向 {\begin{cases} ① 两边平方运算 \\ ② 利用图形几何化 \end{cases}$

第一个

$| \vec{a} - 2 \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} | 可以得到什么？$
$| \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} | = \frac{1}{2} | \vec{a} + \vec{b} |$

$\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} = \vec{B M}$
$\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{O N}$

$B M = O N$
$其中 B M ⊥ O A, M 为 O A 的中点$

第二个

$\vec{a} - \vec{b} 在 \vec{a} 上的投影向量为 \frac{1}{2} \vec{a} 的图形化$
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{B A} 在 \vec{a} 上的投影向量为 \vec{M A}$
$所以 M 为 O A 的中点$

第三个

$t \in R, | t \vec{a} - \vec{b} | 的最小值为 \sqrt{3}$
$t \vec{a} = t \vec{O A} = t \vec{O A^{'}}$
$A^{'} 在直线 O A 上$
$t \vec{a} - \vec{b} = \vec{O A^{'}} - \vec{O B} = \vec{B A^{'}}$
$| t \vec{a} - \vec{b} | 表示 B 和动点 A^{'} 的距离$
$最小值为 B 到 O A 的垂线段, 即 B M$

综合以上三个问题得到

$△ O A B 中， O B = B A ，中线 B M = O N = \sqrt{3}, G 为重心, 求 O A$

$O G = \frac{2}{3} O N, B G = \frac{2}{3} B M$
$O G = B G = A G, G 为 △ O A B 的外心$
$从而 △ O A B 为等边三角形$
$O A = | \vec{a} | = 2$

代数法解析

$| \vec{a} - 2 \vec{b} |^{2} = | \vec{a} + \vec{b} |^{2}, 即 (\vec{a} - 2 \vec{b})^{2} = (\vec{a} + \vec{b})^{2} \dots ①$
$整理可得 \vec{b}^{2} = 2 \vec{a} \cdot \vec{b}, 即 \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} | \vec{b} |^{2}$
$\frac{(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a}}{| \vec{a} |^{2}} = \frac{1}{2}$
$整理可得 \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} | \vec{a} |^{2} \dots ②$
$由 ① ② | \vec{a} | = | \vec{b} |$
$(t \vec{a} - \vec{b})^{2} = t^{2} | \vec{a} |^{2} - 2 t \vec{a} \cdot \vec{b} + | \vec{b} |^{2} = | \vec{a} |^{2} t^{2} - | \vec{a} |^{2} t + | \vec{a} |^{2} = | \vec{a} |^{2} (t^{2} - t + 1)$
$当 t = \frac{1}{2} 时取得最小值 \frac{3}{4} | \vec{a} |^{2}$
$∴ | t \vec{a} - \vec{b} | 的最小值为 \frac{\sqrt{3}}{2} | \vec{a} | = \sqrt{3}$