202601294

题目1

$在 △ A B C 中, D, E 在 B C 上, \vec{B D} = \vec{D E} = \vec{E C}, | \vec{A D} | = \frac{2 \sqrt{3}}{3},$
$\vec{A D}, \vec{A E} 的夹角为 \frac{π}{6}, 求 \vec{A B} \cdot \vec{A C} 的最大值$

$由数量积的定义可得 \vec{A D} \cdot \vec{A E} = | \vec{A D} | | \vec{A E} | \cos \frac{π}{6} = | \vec{A E} |$
$基底化$
$\vec{A B} = \vec{A D} + \vec{D B} = \vec{A D} + \vec{E D} = \vec{A D} + \vec{A D} - \vec{A E} = 2 \vec{A D} - \vec{A E}$
$同理 \vec{A C} = 2 \vec{A E} - \vec{A D}$

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$\vec{A B} \cdot \vec{A C} = (2 \vec{A D} - \vec{A E}) \cdot (2 \vec{A E} - \vec{A D})$
$= - 2 | \vec{A D} |^{2} - 2 | \vec{A E} |^{2} + 5 \vec{A D} \cdot \vec{A E}$
$= - 2 \times \frac{4}{3} - 2 | \vec{A E} |^{2} + 5 | \vec{A E} | \leq \frac{11}{24}$