202601293

$P\mathrm{为}\mathrm{边}\mathrm{长}\mathrm{为}2\mathrm{的}\mathrm{正}\mathrm{六}\mathrm{边}\mathrm{形}ABCDEF\mathrm{的}\mathrm{六}\mathrm{条}\mathrm{变}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{动}\mathrm{点}，\mathrm{求}$
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}$

$\mathrm{过}P\mathrm{作}P{P}^{\prime }\perp AB\mathrm{于}{P}^{\prime }$
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{P}^{\prime }}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{A{P}^{\prime }}|$
$\mathrm{当}{P}^{\prime }\mathrm{在}Q\mathrm{位}\mathrm{置}\mathrm{时}\mathrm{达}\mathrm{到}\mathrm{最}\mathrm{大}$
$\mathrm{在}Rt\mathrm{△}ACQ\mathrm{中}，AC=2\sqrt{3},\mathrm{\angle }CAQ={30}^{\circ }$
$\therefore AQ=3$
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AP}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{为}6$