202601281

$\mathrm{如}\mathrm{图},G\mathrm{为}\mathrm{△}ABC\mathrm{的}\mathrm{重}\mathrm{心}，\mathrm{过}\mathrm{重}\mathrm{心}G\mathrm{做}\mathrm{直}\mathrm{线}l\mathrm{与}AB,AC\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{交}\mathrm{于}M,N$
$\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN}=\mu \overrightarrow{AC},\mathrm{求}{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}+{\displaystyle \frac{1}{\mu }}$

$\mathrm{由}\mathrm{重}\mathrm{心}\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义},P\mathrm{为}BC\mathrm{的}\mathrm{中}\mathrm{点}，\overrightarrow{AG}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AP}$
$\because M,N,G\mathrm{三}\mathrm{点}\mathrm{共}\mathrm{线}$
$\therefore \mathrm{存}\mathrm{在}t\in R\mathrm{使}\mathrm{得}\overrightarrow{AG}=t\overrightarrow{AM}+(1-t)\overrightarrow{AN}$
$=t\lambda \overrightarrow{AB}+(1-t)\mu \overrightarrow{AC}\cdots \mathrm{①}$
$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AG}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AC}\cdots \mathrm{②}$
$\mathrm{由}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{的}\mathrm{基}\mathrm{本}\mathrm{定}\mathrm{理}\mathrm{及}\mathrm{①}\mathrm{②}\mathrm{得}$
$\{\begin{array}{l}t\lambda ={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ (1-t)\mu ={\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}3t={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}\\ 3(1-t)={\displaystyle \frac{1}{\mu }}\end{array}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{\lambda }}+{\displaystyle \frac{1}{\mu }}=3$

$\mathrm{如}\mathrm{图},P\mathrm{为}BC\mathrm{的}\mathrm{三}\mathrm{等}\mathrm{分}\mathrm{点}\mathrm{靠}\mathrm{近}B，AG={\displaystyle \frac{2}{3}}AP,\mathrm{过}G\mathrm{做}\mathrm{直}\mathrm{线}l\mathrm{与}AB,AC$
$\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{交}\mathrm{于}M,N,\mathrm{且}\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN}=\mu \overrightarrow{AC},\mathrm{求}{\displaystyle \frac{2}{\lambda }}+{\displaystyle \frac{1}{\mu }}$