202601236

$\mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=\ln (\sqrt{x^2+1}-x)+\frac{1}{1+2^x},\mathrm{若}\mathrm{\forall }x\in R\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}f(a{x}^2)+f(x+a)<1$
$\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}，\mathrm{则}\mathrm{实}\mathrm{数}a\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}\mathrm{是}()$

• $A.(-\frac{1}{2},0]$
• $B.(-\frac{1}{2},+\mathrm{\infty })$
• $C.(\frac{1}{2},+\mathrm{\infty })$
• $D.(-1,+\mathrm{\infty })$

$f(x)\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{为}R$
$\ln (\sqrt{x^2+1}-x)\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$y=\frac{1}{1+2^x}\mathrm{与}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}y=\frac{2^x-1}{2^x+1}=1-\frac{2}{2^x+1}\mathrm{相}\mathrm{关}$
$f(x)+f(-x)=1$
$（\mathrm{所}\mathrm{以}f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}(0,\frac{1}{2})\mathrm{对}\mathrm{称}）$

$f(x+a)+f(-x-a)=1$
$\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}f(a{x}^2)+f(x+a)<1\mathrm{可}\mathrm{化}\mathrm{为}f(a{x}^2)<f(-x-a)$

$y=\ln (\sqrt{x^2+1}-x)=\ln \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\mathrm{为}\mathrm{减}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$y=\frac{1}{1+2^x}\mathrm{为}\mathrm{减}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$\mathrm{所}\mathrm{以}f(x)\mathrm{为}\mathrm{减}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$\mathrm{所}\mathrm{以}a{x}^2<-x-a\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}$
$\mathrm{即}a{x}^2+x+a>0\mathrm{在}R\mathrm{上}\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}$

$a=0\mathrm{时}，x>0\mathrm{不}\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}，\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{舍}\mathrm{去}$
$a>0,\mathrm{且}\mathrm{\Delta }<0$
$1-4a^2<0\mathrm{得}a>\frac{1}{2}\mathrm{或}a<-\frac{1}{2}(\mathrm{舍})$