202601235

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=\frac{2^{x-1}-1}{2^{x-1}+1}-1,\mathrm{若}\mathrm{对}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{的}\mathrm{正}\mathrm{实}\mathrm{数}a,b\mathrm{满}\mathrm{足}f(a)+f(2b-2)=-2$
$\mathrm{则}\frac{2}{a}+\frac{3a+4}{b}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{为}()$

• $A.\frac{5}{2}$
• $B.\frac{9}{2}$
• $C.\frac{13}{2}$
• $D.\frac{15}{2}$

$\mathrm{从}\mathrm{熟}\mathrm{悉}\mathrm{开}\mathrm{始}g(x)=\frac{a^x-1}{a^x+1}\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$\therefore y=\frac{2^x-1}{2^x+1}$
$\mathrm{上}\mathrm{述}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{向}\mathrm{右}\mathrm{平}\mathrm{移}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}，\mathrm{然}\mathrm{后}\mathrm{在}\mathrm{向}\mathrm{下}\mathrm{平}\mathrm{移}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{的}f(x)$
$f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{点}(1,-1)\mathrm{对}\mathrm{称}$
$f(x)+f(2-x)=-2$
$\therefore a+2b-2=2,\mathrm{即}a+2b=4$
$\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{化}\frac{2}{a}+\frac{3a+4}{b}=\frac{a+2b}{2a}+\frac{3a+a+2b}{b}=\frac{5}{2}+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}\ge \frac{13}{2}$