202601215

$\mathrm{求}\mathrm{函}\mathrm{数}y=\frac{\sin x-2}{\cos x-3}\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{域}$

$\mathrm{把}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{时}\mathrm{当}\mathrm{成}\mathrm{方}\mathrm{程}$
$\mathrm{整}\mathrm{理}\mathrm{可}\mathrm{得}\sin x-y\cos x=2-3y$
$\mathrm{由}\mathrm{辅}\mathrm{助}\mathrm{角}\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{可}\mathrm{得}$
$\sqrt{y^2+1}\sin (x+\phi )=2-3y$
$\sin (x+\phi )=\frac{2-3y}{\sqrt{y^2+1}}$
$\mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{正}\mathrm{弦}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{性}$
$-1\le \frac{2-3y}{\sqrt{y^2+1}}\le 1$
$\mathrm{即}|\frac{2-3y}{\sqrt{y^2+1}}|\le 1$
$\mathrm{所}\mathrm{以}(\frac{2-3y}{\sqrt{y^2+1}}{)}^2\le 1,\mathrm{解}\mathrm{得}\frac{3-\sqrt{3}}{4}\le x\le \frac{3+\sqrt{3}}{4}$

$\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{为}[\frac{3-\sqrt{3}}{4},\frac{3+\sqrt{3}}{4}]$