202601204

题目2

$已知函数 f (x) = \ln x - \frac{1}{a} (x + 1), a < - 1 - \frac{1}{e}, x_{0} 为函数 f (x)$
$的一个零点, 求 2 x_{0} + a \ln x_{0} 的取值范围$

解析

$f (x_{0}) = 0$
$∴ \ln x_{0} = \frac{1}{a} (x_{0} + 1)$
$即 a \ln x_{0} = x_{0} + 1$
$2 x_{0} + a \ln x_{0} = 3 x_{0} + 1$

主要求

x_{0}

的取值范围

$首先根据函数定义域可得 x_{0} > 0$
$a = \frac{x_{0} + 1}{\ln x_{0}} < - 1 - \frac{1}{e}$
$x_{0} > 1 时， \ln x_{0} > 0, x_{0} + 1 > 0, 上述不等式不成立$
$所以 0 < x_{0} < 1$
$\frac{x_{0} + 1}{\ln x_{0}} < - 1 - \frac{1}{e} 可化为$
$x_{0} + 1 + (1 + \frac{1}{e}) \ln x_{0} > 0$
$构造函数的思想$
$令 g (x) = x + 1 + (1 + \frac{1}{e}) \ln x$
$易得 g (x) 为增函数$
$且 g (\frac{1}{e} = 0) (观察法)$
$所以 \frac{1}{e} < x_{0} < 1$

综上所述

$2 x_{0} + a \ln x_{0} = 3 x_{0} + 1 \in (1 + \frac{3}{e}, 4)$