202601203

题目

$设 a 为实数，若实数 x_{0} 是关于 x 的方程 e^{x} + (1 - a) x = \ln a + \ln x 的解 . 求 \frac{e^{x_{0} - 1}}{a x_{0}} 的值$

解析

$方程是不可解型方程，采取代换策略$
$方程可变为 e^{x} + x = \ln (a x) + a x$

continue

$两种变形方法$
$① 变左边 \ln e^{x} + e^{x} = \ln (a x) + a x$
$设 f (x) = \ln x + x$
$即 \ln e^{x} + e^{x} = \ln (a x) + a x 等价于 f (e^{x}) = f (a x)$
$因为 f (x) = \ln x + x 为单调函数$
$所以 e^{x} = a x$
$即 x_{0} 满足 a x_{0} = e^{x_{0}}$
$\frac{e^{x_{0} - 1}}{a x_{0}} = \frac{e^{x_{0} - 1}}{e^{x_{0}}} = \frac{1}{e}$

continue

$② 变右边$
$e^{x} + x = e^{\ln a x} + \ln a x$
$设 f (x) = e^{x} + x$
$e^{x} + x = e^{\ln x} + \ln x 等价于 f (x) = f (\ln (a x))$
$f (x) = \ln x + x 为单调函数$
$x = \ln a x$
$即 x_{0} 满足 x_{0} = \ln a x_{0} \Rightarrow e^{x_{0}} = a x_{0}$