202601191

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=\{\begin{array}{l}{2}^x-4,x\ge 0\\ 4-f(-x),x<0\end{array},\mathrm{下}\mathrm{列}\mathrm{说}\mathrm{法}\mathrm{正}\mathrm{确}\mathrm{的}\mathrm{是}()$

• $A.f(x)\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{象}\mathrm{关}\mathrm{于}(0,2)\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{对}\mathrm{称}$
• $B.\mathrm{若}\mathrm{函}\mathrm{数}y=|f(x)|-m\mathrm{有}4\mathrm{个}\mathrm{零}\mathrm{点}，\mathrm{则}0<m<3$
• $C.\mathrm{函}\mathrm{数}y=|f(x)-2|\mathrm{是}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}$
• $D.\mathrm{设}\mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)+x^3-2\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{零}\mathrm{点}{x}_1,x_2,\mathrm{则}f(x_1)+f(x_2)=4$

$x<0\mathrm{时}，-x>0,f(-x)=2^{-x}-4$
$\therefore f(x)=\{\begin{array}{l}{2}^x-4,x\ge 0\\ 8-2^{-x},x<0\end{array}$

$x=0\mathrm{时}，f(x)=-3\mathrm{决}\mathrm{定}\mathrm{了}f(x)\mathrm{不}\mathrm{关}\mathrm{于}(0,2)\mathrm{对}\mathrm{称}$

$\mathrm{准}\mathrm{确}\mathrm{描}\mathrm{述}\mathrm{是}f(x)\mathrm{在}(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })\mathrm{关}\mathrm{于}(0,2)\mathrm{对}\mathrm{称}$
$\mathrm{除}\mathrm{去}0\mathrm{会}\mathrm{满}\mathrm{足}f(-x)+f(x)=4$

$\mathrm{正}\mathrm{确}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{是}0<m\le 3$

$y|f(x)-2|=\{\begin{array}{l}|2^x-6|,x\ge 0\\ |6-2^{-x}|,x<0\end{array}$
$\mathrm{当}x>0\mathrm{时},-x<0,f(x)=|2^x-6|,f(-x)=|6-2^{-(-x)}|=|6-2^x|=f(x)$
$\mathrm{当}x<0\mathrm{时},-x>0,f(x)=|6-2^{-x}|,f(-x)=|2^{-x}-6|=f(x)$
$\mathrm{所}\mathrm{以}y=|f(x)-2|\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}$

$f(x)=-x^3+2\mathrm{的}\mathrm{根}\mathrm{为}{x}_1,x_2$
$y=f(x),x\ne 0\mathrm{时}\mathrm{关}\mathrm{于}(0,2)\mathrm{对}\mathrm{称}$
$y=-x^3+2\mathrm{关}\mathrm{于}(0,2)\mathrm{对}\mathrm{称}$
$\mathrm{所}\mathrm{以}(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))\mathrm{关}\mathrm{于}(0,2)\mathrm{对}\mathrm{称}$
$\therefore f(x_1)+f(x_2)=4$