202601183

题目

$已知函数 f (x), g (x), h (x) 的定义域均为 R ，定义 :$
$① 若存在 n 个互不相同的实数 x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, 使得$
$f (g (x_{i})) = h (f (x_{i})) (i = 1, 2, 3, \dots, n), 则称 g (x) 与 h (x) 关于 f (x) “n维交换”;$
$② 若对任意 x \in R, 恒有 f (g (x)) = h (g (x)), 则称 g (x) 与 h (x) 关于 f (x) “任意交换”$

$(1) 判断函数 g (x) = x - 5 与 h (x) = x + 2 是否关于 f (x) = | x | “1维交换” ，$
$并说明理由$
$(2) 设 f (x) = p x^{2} + 1 (p \neq 0), g (x) = x^{2} + q x + 1, 若存在函数 h (x), 使得$
$g (x) 与 h (x) 关于 f (x) “任意交换”, 求 q 的值$
$(3) 设 g (x) = k | x^{2} - 2 x |, h (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ x^{2} - 1, x < 0 \end{cases}, 若 g (x) 与 h (x) 关于 f (x) = x$
$“3维交换” ，求实数 k 的值$

解析（1）

$f (g (x)) = | x - 5 |, h (f (x)) = | x | + 2$
$由题意, 存在唯一的 x_{1} 使得 f (g (x_{1})) = h (f (x_{1}))$
$即 | x - 5 | = | x | + 2 有且只有一个根$
${\begin{cases} x - 5 = x + 2, x \geq 5 \\ 5 - x = x + 2, 0 \leq x < 5 \\ 5 - x = - x + 2, x \leq 0 \end{cases}, 解的 x = \frac{3}{2}$
$∴ g (x) 与 h (x) 关于 f (x) “1维交换”$

(2)

$f (g (x)) = p (x^{2} + q x + 1)^{2} + 1, 由题意得$
$h (f (x)) = f (g (x)) \Rightarrow h (p x^{2} + 1) = p (x^{2} + q x + 1)^{2} + 1$
$= p x^{4} + 2 p q x^{3} + (p q^{2} + 2 p) x^{2} + 2 p q x + p + 1$
$h (p x^{2} + 1) 的展开式中不含 x 的奇次方项$
$所以 2 p q = 0 ， p \neq 0$
$∴ q = 0$

(3)

$f (g (x)) = g (x) = k | x^{2} - 2 x |, h (f (x)) = h (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ x^{2} - 1, x < 0 \end{cases}$
$由题意存在 3 个不同的实数 x_{i}, 使得 g (x_{i}) = g (x_{i}) 成立$

$把 k 想象成伸缩变换的量$

continue

$令 F (x) = g (x) - f (x) = {\begin{cases} k | x^{2} - 2 x | - x^{2} - 1, x > 0 \\ k | x^{2} - 2 x |, x = 0 \\ k | x^{2} - 2 x | - x^{2} + 1, x < 0 \end{cases}$
$x = 0 是一个零点$

continue

$k \leq 0 时$
$若 x > 0, k | x^{2} - 2 x | \leq 0, x^{2} + 1 > 0, 所以 k | x^{2} - 2 x | - x^{2} - 1 = 0 无解$
$x < 0 时， k | x^{2} - 2 x | - x^{2} + 1 = k (x^{2} - 2 x) - x^{2} + 1 = 0$
$(k - 1) x^{2} - 2 k x + 1 = 0, Δ > 0, x_{1} x_{2} = \frac{1}{k - 1} < 0$
$所以在 (- \infty, 0) 只有一个实根，不满足题意$

continue

$k > 0 时， k = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$