202601181

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{正}\mathrm{实}\mathrm{数}a、b、c\mathrm{满}\mathrm{足}a+b+c=1,\mathrm{证}\mathrm{明}：$
$(1)a^2+b^2+c^2\ge \frac{1}{3}$
$(2)a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\ge abc$

$\mathrm{方}\mathrm{法}\mathrm{一}$
$\mathrm{原}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{于}{a}^2+b^2+c^2\ge \frac{1}{3}(a+b+c{)}^2$
$\mathrm{即}\mathrm{证}\mathrm{明}3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c{)}^2$
$\mathrm{即}\mathrm{证}2(a^2+b^2+c^2)\ge 2ab+2bc+2ca\cdots \mathrm{①}$
$\because a^2+b^2\ge 2ab,b^2+c^2\ge 2bc,c^2+a^2\ge 2ca$
$\mathrm{三}\mathrm{个}\mathrm{式}\mathrm{子}\mathrm{相}\mathrm{加}\mathrm{可}\mathrm{得}\mathrm{①}$
$\therefore \mathrm{原}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}\mathrm{成}\mathrm{立}$

$\mathrm{方}\mathrm{法}\mathrm{二}$
$\mathrm{柯}\mathrm{西}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}$
$(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)\le (a+b+c{)}^2$
$\mathrm{命}\mathrm{题}\mathrm{得}\mathrm{证}$

$\mathrm{先}\mathrm{变}\mathrm{形}+\mathrm{齐}\mathrm{次}\mathrm{化}$
$\mathrm{原}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{于}\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge 1=a+b+c$
$\mathrm{两}\mathrm{种}\mathrm{思}\mathrm{路}$

$\frac{a^2}{c}+c+\frac{b^2}{a}+a+\frac{c^2}{b}+b\ge 2a+2b+2c$

$(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b})(a+b+c)\ge (a+b+c{)}^2$