2026011711

题目

$关于函数 f (x) = \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x} 的说法正确的是 ()$

$A . f (x) 是奇函数$
$B . 对于 \forall M > 0, 均存在 x 使得 f (x) > M$
$C . \exists a \in R, 使得方程 f (x) = a 的根为有限个$
$D . 对任意的 k, a \in R, 直线 y = k x + a 与 f (x) 的图象有无穷多个交点$

解析

$(1) 定义域为 (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$
$f (- x) = \frac{1}{- x} \cos \frac{1}{- x} = - f (x)$

(2)

$首先要清楚 \cos \frac{1}{x} 的有界性和周期性$
$\frac{1}{x} 除了 0 都可以取到$
$所以当我们指定正实数 M ，都存在 x_{0} 使得 \frac{1}{x_{0}} > M$
$思考过程（注意使用特殊化的思想）$
$首先取 \cos \frac{1}{x} = 1, 此时 x = \frac{1}{2 k π}, k \in Z$
$f (\frac{1}{2 k π}) = 2 k π$
$其次, 从众多的 2 k π 中找到 2 k π > M 的值（至少一个）$
$即考虑是否存在 k 使得 k > \frac{M}{2 π}$
$显然这样的正整数 k 是一定存在的$
$所以假设 k_{0} > \frac{M}{2 π}, k_{0} \in N$
$取 x = \frac{1}{2 k_{0} π}$
$则 f (\frac{1}{2 k_{0} π}) = 2 k_{0} π > M$

(3)

$f (x) = a \Rightarrow \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x} = a$
$令 t = \frac{1}{x}$
$则 t \cos t = a (t \neq 0) 是否有有限个根$
$\frac{a}{t} = \cos t$

有限个是不可能的

(4)

$根据余弦函数的特征，只需考虑在 0 附近的取值特点$
$先考虑 y = \cos \frac{1}{x} 的图像特征$
$对于每个区间 [\frac{1}{(2 k + 2) π + \frac{π}{2}}, \frac{1}{2 k π + \frac{π}{2}}], \frac{1}{x} \in [2 k π + \frac{π}{2}, (2 k + 2) π + \frac{π}{2}]$
$y = \cos \frac{1}{x} 都会经历从 0 增大到 1 ，再到 - 1 ，再到 0 的过程$
$y = \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x}, 会在 y = \cos \frac{1}{x} 图象的基础上纵向伸长$
$随着 k 的增大，会产中无限个这样的区间满足图象同样变化特征$
$那么 y = k x + a, 无论 k 和 a 取什么值，该直线与 y = \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x} 都会$
$相交于无穷多个点，而且越靠近 0 附近越多$

思维方法要求

本题重在考查对数学的极限思想，属于高等数学的要求，
同时需要更好理解图像走势变化过程尤其是 $y = \cos \frac{1}{x}$