202601164

$\mathrm{已}\mathrm{知}a>0,b>1,a{e}^a=a+3,b^3\ln b=\ln b+1,\mathrm{求}a(b^3-1)$

$\mathrm{这}\mathrm{属}\mathrm{于}\mathrm{超}\mathrm{越}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{无}\mathrm{法}\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{求}\mathrm{解}a、b\mathrm{的}\mathrm{值}，\mathrm{能}\mathrm{解}\mathrm{的}\mathrm{大}\mathrm{部}\mathrm{分}\mathrm{也}\mathrm{是}\mathrm{猜}\mathrm{根}\mathrm{法}$
$\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{此}\mathrm{类}\mathrm{问}\mathrm{题}\mathrm{都}\mathrm{是}\mathrm{靠}\mathrm{代}\mathrm{换}\mathrm{变}\mathrm{形}\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{结}\mathrm{果}$
$\mathrm{此}\mathrm{类}\mathrm{问}\mathrm{题}\mathrm{还}\mathrm{有}\mathrm{个}\mathrm{名}\mathrm{字}\mathrm{叫}\text{“隐零点问题”}$

$\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{表}\mathrm{表}\mathrm{面}\mathrm{是}\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{样}\mathrm{的}$
$\mathrm{但}\mathrm{是}\mathrm{其}\mathrm{实}\mathrm{内}\mathrm{在}\mathrm{有}\mathrm{统}\mathrm{一}\mathrm{特}\mathrm{点}$
$\mathrm{所}\mathrm{以}\mathrm{解}\mathrm{决}\mathrm{这}\mathrm{样}\mathrm{问}\mathrm{题}\mathrm{的}\mathrm{重}\mathrm{要}\mathrm{思}\mathrm{路}\mathrm{是}\mathrm{通}\mathrm{过}\mathrm{变}\mathrm{形}\Rightarrow \mathrm{同}\mathrm{构}\mathrm{形}\mathrm{式}$

$\mathrm{最}\mathrm{多}\mathrm{使}\mathrm{用}\mathrm{的}\mathrm{指}\mathrm{数}\mathrm{对}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{恒}\mathrm{等}\mathrm{式}$
$a={\log }_b{b}^a,a=b^{{\log }_{b}a}$
$\mathrm{即}\mathrm{把}\mathrm{常}\mathrm{数}\mathrm{改}\mathrm{写}\mathrm{为}\mathrm{对}\mathrm{数}\mathrm{式}\mathrm{或}\mathrm{指}\mathrm{数}\mathrm{式}$

$a{e}^a=a+3\Rightarrow e^a\ln e^a=\ln e^a=3\Rightarrow (e^a-1)\ln e^a=3$
$b^3\ln b=\ln b+1\Rightarrow (b^3-1)\ln b=1\Rightarrow (b^3-1)\cdot 3\ln b=3$
$\Rightarrow (b^3-1)\ln b^3=3$

$\mathrm{暗}\mathrm{藏}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=(x-1)lnx$
$f(e^a)=3,f(b^3)=3$
$\therefore f(e^a)=f(b^3)$
$\because a>0,b>1\therefore e^a>1,b^3>1$

$\mathrm{下}\mathrm{面}\mathrm{说}\mathrm{明}f(x)=3\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}(1,+\mathrm{\infty })\mathrm{内}\mathrm{有}\mathrm{且}\mathrm{只}\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{解}$
$\mathrm{即}(x-1)\ln x=3\mathrm{只}\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{根}$
$\mathrm{也}\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{说}\mathrm{明}\ln x=\frac{3}{x-1}\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}(1,+\mathrm{\infty })\mathrm{内}\mathrm{只}\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{根}$
$\mathrm{即}\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}(1,+\mathrm{\infty })\mathrm{内}，y=\ln x\mathrm{和}y=\frac{3}{x-1}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{图}\mathrm{象}\mathrm{只}\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{交}\mathrm{点}$
$\mathrm{数}\mathrm{形}\mathrm{结}\mathrm{合}\mathrm{是}\mathrm{比}\mathrm{较}\mathrm{显}\mathrm{然}\mathrm{的}$

$\mathrm{当}x>1\mathrm{时}，x-1>0,\ln x>0,\mathrm{且}y=x-1\mathrm{与}y=\ln x\mathrm{均}\mathrm{为}\mathrm{增}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$\mathrm{所}\mathrm{以}f(x)=(x-1)\ln x\mathrm{也}\mathrm{会}\mathrm{增}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$\mathrm{令}g(x)=f(x)-3=(x-1)\ln x-3$
$g(x)\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}(1,+\mathrm{\infty })\mathrm{内}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{递}\mathrm{增}，g(e)=(e-1)-3<0$
$g(e^2)=(e^2-1)\cdot 2-3>0$
$\therefore g(x)\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{的}\mathrm{零}\mathrm{点}$

$f(x)=3\mathrm{在}\mathrm{区}\mathrm{间}(1,+\mathrm{\infty })\mathrm{内}\mathrm{有}\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{解}$
$\therefore e^a=b^3$
$\mathrm{从}\mathrm{而}a(b^3-1)=a(e^a-1)=a{e}^a-a=3$