202601162

题目

$已知函数 f (x) = | \sin x | + | \cos x | + a \sin x \cos x, 其中 a 为实数$
$(1) 若 f (x) 为偶函数，求 a 的值$
$(2) 当 a = 1 时，求 f (x) 的值域$
$(3) 若 a = 2 \sqrt{2} ，求函数 f (x) 在区间 (0, 2026 π) 内零点的个数$

解析(1)

(2)

continue

$当 x \in [0, \frac{π}{2}] 时， f (x) = \sin x + \cos x + \sin x \cos x$
$令 t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \in [1, \sqrt{2}]$
$\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$
$即求 y = \frac{t^{2} + 2 t - 1}{2}, t \in [1, \sqrt{2}] 的值域$
$此时值域为 [1, \sqrt{2} + \frac{1}{2}]$

continue

$当 x \in (\frac{π}{2}, π] 时， f (x) = \sin x - \cos x + \sin x \cos x$
$令 s = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) \in [1, \sqrt{2}]$
$\sin x \cos x = \frac{1 - s^{2}}{2}$
$即求 y = \frac{- s^{2} + 2 s + 1}{2}, s \in [1, \sqrt{2}] 的值域$
$此时值域为 [\sqrt{2} - \frac{1}{2}, 1]$

综上所述

$f (x) 的值域为 [\sqrt{2} - \frac{1}{2}, \sqrt{2} + \frac{1}{2}]$

(3)

$a = 2 \sqrt{2} ， f (x) = | \sin x | + | \cos x | + 2 \sqrt{2} \sin x \cos x$
$f (x + π) = f (x)$
$所以先考虑 x \in [0, π]$
$f (0) \neq 0, f (π) \neq 0$
$所以 f (x) 的零点在 (0, π)$

$下面研究 f (x) 在 (0, π) 内的图像情况$

continue

$根据第二问的推导方式$
$当 x \in [0, \frac{π}{2}] 时， f (x) = \sin x + \cos x + 2 \sqrt{2} \sin x \cos x$
$令 t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) \in [1, \sqrt{2}]$
$\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$
$y = \frac{t^{2} + 4 \sqrt{2} t - 1}{2}, t \in [1, \sqrt{2}] 为增函数$
$∴ f (x) 在 [0, \frac{π}{4}] 单调递增， [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}] 单调递减$
$同理可得 f (x) 在 [\frac{π}{2} \frac{3 π}{4}] 单调递减， [\frac{3 π}{4}, π] 单调递增$
$f (x) 的最小值为 f (\frac{3 π}{4}) = 0$
$所以 f (x) 在 [0, π] 只有一个零点，且在 (0, π) 内$
$所以 f (x) 在区间 (0, 2026 π) 内共有 2026 个零点$