202601161

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=x^2+mx-2m+n,\mathrm{若}\mathrm{非}\mathrm{空}\mathrm{集}\mathrm{合}A=\{x|f(x)\le 0\}$
$B=\{x|f(f(x)+2)\le 4\},\mathrm{且}A=B,\mathrm{下}\mathrm{列}\mathrm{说}\mathrm{法}\mathrm{正}\mathrm{确}\mathrm{的}\mathrm{是}()$

• $A.n\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{与}m\mathrm{有}\mathrm{关}$
• $B.n\mathrm{为}\mathrm{定}\mathrm{值}$
• $C.0\le m\le 2\sqrt{2}$
• $D.0\le m\le 2\sqrt{5}-2$

$\because A,B\mathrm{为}\mathrm{非}\mathrm{空}\mathrm{集}\mathrm{合}$
$\mathrm{复}\mathrm{合}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{方}\mathrm{式}\mathrm{对}\mathrm{待}$
$\mathrm{令}f(x)+2=t$
$f(f(x)+2)\le 4\mathrm{即}f(t)\le 4$
$\mathrm{设}f(t)\le 4\mathrm{的}\mathrm{解}\mathrm{集}\mathrm{为}\{x|a\le x\le b\}$
$f(b)=4$
$\mathrm{则}a\le f(x)+2\le b\Rightarrow a-2\le f(x)\le b-2$
$\mathrm{依}\mathrm{题}\mathrm{意}，a-2\le f(x)\le b-2\mathrm{与}f(x)\le 0\mathrm{的}\mathrm{解}\mathrm{集}\mathrm{相}\mathrm{同}$
$\mathrm{翻}\mathrm{译}$
$b-2=0,\mathrm{且}f(x)\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}f(x{)}_{min}\ge a-2$
$b=2\Rightarrow f(b)=f(2)=4+2m-2m+n=4$
$n=0$
$\mathrm{所}\mathrm{以}B\mathrm{正}\mathrm{确}$

$A\ne \varnothing ,f(x)=x^2+mx-2m$
$\mathrm{\Delta }=m^2+8m\ge 0\Rightarrow a\le -8\mathrm{或}a\ge 0$

$\mathrm{设}f(t)\le 4\mathrm{的}\mathrm{解}\mathrm{集}\mathrm{为}[a,b]\Rightarrow f(x)=4\mathrm{的}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{根}\mathrm{为}a、b=2$
$\mathrm{韦}\mathrm{达}\mathrm{定}\mathrm{理}\{\begin{array}{l}a+2=-m\\ 2a=-2m-4\end{array}\Rightarrow a=-m-2$

$f(x{)}_{min}\ge a-2\Rightarrow f(-\frac{m}{2})=-\frac{m^2}{4}-2m\ge -m-4\Rightarrow m^2+4m-16\le 0$
$-2\sqrt{5}-2\le m\le 2\sqrt{5}-2$

$0\le m\le 2\sqrt{5}-2$

graph TB
A[复合二次不等式]
B[引进参数a,b辅助]
C[借助参数a,b转化为熟悉二次不等式]
D["换元,先以f(x)作为变量考虑"]
E[不等式化作方程考虑]
F[韦达定理辅助研究二次方程根的问题]
G[解不等式]
A-->B
A-->D
B-->C
D-->C
D-->E
C-->E
E-->F
F-->G