202601153

$\mathrm{已}\mathrm{知}f(x)=|\frac{1}{x}-1|+\frac{1}{2}(x>0)$
$(1)\mathrm{若}0<n<m\mathrm{时},f(m)=f(n),\mathrm{求}\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\mathrm{的}\mathrm{值}$
$(2)\mathrm{若}0<n<m\mathrm{时},f(x)\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{与}\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{均}\mathrm{为}[n,m],\mathrm{求}\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{的}m、n\mathrm{值}$

$f(m)=f(n)\Rightarrow |\frac{1}{m}-1|+\frac{1}{2}=|\frac{1}{n}-1|+\frac{1}{2}$
$\frac{1}{m}-1=\frac{1}{n}-1\mathrm{或}\frac{1}{m}-1=-\frac{1}{n}+1$
$\because 0<n<m$
$\therefore \frac{1}{m}-1=-\frac{1}{n}+1\Rightarrow \frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2$

$f(x)\mathrm{在}(0,1]\mathrm{递}\mathrm{减}，[1,+\mathrm{\infty })\mathrm{递}\mathrm{增}$
$1^{\circ },0<n<m\le 1\mathrm{时}，\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{为}[n,m],\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{为}[n,m]$
$\{\begin{array}{l}f(n)=m\\ f(m)=n\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{1}{n}-\frac{1}{2}=m\\ \frac{1}{m}-\frac{1}{2}=n\end{array}$
$\mathrm{两}\mathrm{式}\mathrm{相}\mathrm{减}\mathrm{得}mn=1,\mathrm{不}\mathrm{合}\mathrm{题}\mathrm{意}\mathrm{舍}\mathrm{去}$
$2^{\circ }1\le n<m\mathrm{时}$
$\{\begin{array}{l}f(m)=m\\ f(n)=n\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}-\frac{1}{m}+\frac{3}{2}=m\\ -\frac{1}{n}+\frac{3}{2}=n\end{array}\mathrm{无}\mathrm{实}\mathrm{数}\mathrm{解}$
$3^{\circ }0<n<1<m\mathrm{时}$
$\{\begin{array}{l}f(1)=n\\ f(n)=m\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}n=\frac{1}{2}\\ m=\frac{3}{2}\end{array}$