202601152

题目1

$已知函数 f (x) = \log_{2} (4^{x - 1} + 1) - x, 则不等式 f (3 x) < f (x + 3) 的解集为 ()$

$A . (- \infty, \frac{3}{2})$
$B . (\frac{3}{2}, + \infty)$
$C . (- \frac{1}{4}, \frac{3}{2})$
$D . (- \frac{3}{4}, \frac{3}{2})$

$方法一 : 直接法$
$\log_{2} (4^{3 x - 1} + 1) - 3 x < \log_{2} (4^{x + 3 - 1} + 1) - (x + 3)$
$整理可得 \log_{2} (4^{3 x - 1} + 1) - \log_{2} 2^{3 x} < \log_{2} (4^{x + 2} + 1) - 2^{x + 3}$
$\log_{2} \frac{2^{6 x - 2} + 1}{2^{3 x}} < \log_{2} (\frac{2^{2 x + 4} + 1}{2^{x + 3}})$
$2^{3 x - 2} + 2^{- 3 x} < 2^{x + 1} + 2^{- x - 3}$
$换元$
$令 t = 2^{x}, 同时两边同乘以 8 t^{3}$
$2 t^{6} + 8 < 16 t^{4} + t^{2}$
$令 s = t^{2}$
$2 s^{3} - 16 s^{2} - s + 8 < 0$
$分解因式$
$2 s^{2} (s - 8) - (s - 8) < 0 \Rightarrow (s - 8) (2 s^{2} - 1) < 0$

Continue

$s > 0$
$∴ \frac{\sqrt{2}}{2} < s < 8$
$2^{- \frac{1}{2}} < s < 2^{3}$
$即 2^{- \frac{1}{2}} < t^{2} < 2^{3}$
$即 2^{- \frac{1}{2}} < 2^{2 x} < 2^{3}$
$- \frac{1}{4} < s < \frac{3}{2}$

方法2（利用函数的性质）

$研究函数的单调性和对称性$
$f (x) = \log_{2} (4^{x - 1} + 1) - \log_{2} 2^{x} = \log_{2} \frac{2^{2 x - 2} + 1}{2^{x}}$
$即 f (x) = \log_{2} (2^{x - 2} + 2^{- x})$
$f (x + 1) = \log_{2} (2^{x - 1} + 2^{- x - 1})$
$记 g (x) = \log_{2} (2^{x - 1} + 2^{- x - 1}) = \log_{2} (2^{x} + 2^{- x}) - 1$
$g (- x) = \log_{2} (2^{- x} + 2^{x}) - 1 = g (- x)$
$∴ f (x + 1) 为偶函数，即 f (x) 关于 x = 1 对称$

continue

$研究 g (x) 的单调性 (复合函数)$
$t = 2^{x} + 2^{- x}, y = \log_{2} t$
$研究 t = 2^{x} + 2^{- x} (利用单调性定义或复合函数均可判断)$
$t = 2^{x} + 2^{- x} 单调递增, y = \log_{2} t 单调递增$
$∴ g (x) 在 [0, + \infty) 上为增函数$
$f (x) 在 [1, + \infty) 上为增函数, (- \infty, 1] 上为减函数$

问题转化为

$已知 f (x) 关于 x = 1 对称，且在 [1, + \infty) 上为增函数, (- \infty, 1] 上为减函数$
$解不等式 f (3 x) < f (x + 3)$
$即 | 3 x - 1 | < | x + 3 - 1 |$
$(3 x - 1)^{2} < (x + 2)^{2} \Rightarrow 8 x^{2} - 10 x - 3 < 0$
$(2 x - 3) (4 x + 1) < 0 \Rightarrow - \frac{1}{4} < x < \frac{3}{2}$