202601118

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=e^x-\frac{1}{x}\mathrm{的}\mathrm{零}\mathrm{点}\mathrm{为}{x}_0,\mathrm{求}\mathrm{证}:e^{x_0}-\ln x_0>2$

$x<0\mathrm{时},e^x>0,\frac{1}{x}<0,f(x)\mathrm{恒}\mathrm{大}\mathrm{于}0，\mathrm{无}\mathrm{零}\mathrm{点}$
$x>0\mathrm{时}，f(x)=e^x-\frac{1}{x}\mathrm{为}\mathrm{增}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$f(\frac{1}{2})=\sqrt{e}-2<0,f(1)=e-1>0$
$\therefore x_0\in (\frac{1}{2},1),e^{x_0}=\frac{1}{x_0},\mathrm{且}{x}_0=-\ln x_0$
$e^{x_0}-\ln x_0=\frac{1}{x_0}+x_0\ge 2\mathrm{且}\mathrm{等}\mathrm{号}\mathrm{不}\mathrm{能}\mathrm{成}\mathrm{立}$
$\therefore e^{x_0}-\ln x_0>2$