202601083

$f(x)=a\sin x+\cos x\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{关}\mathrm{于}x=\frac{\pi }{3}\mathrm{对}\mathrm{称}，\mathrm{求}a\mathrm{的}\mathrm{值}$

$\mathrm{特}\mathrm{值}\mathrm{法}$
$f(0)=f(\frac{2\pi }{3})$
$\mathrm{即}a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=1\Rightarrow a=\sqrt{3}$

$f(\frac{\pi }{3})\mathrm{为}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{或}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}$
$|f(\frac{\pi }{3})|=\sqrt{a^2+1}$
$|\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}|=\sqrt{a^2+1}$
$\mathrm{两}\mathrm{边}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{整}\mathrm{理}\mathrm{可}\mathrm{得}$
$(\frac{1}{2}a-\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2=0\Rightarrow a=\sqrt{3}$

$f(\frac{2\pi }{3}-x)=f(x)$
$\mathrm{即}a\sin (\frac{2\pi }{3}-x)+\cos (\frac{2\pi }{3}-x)=a\sin x+\cos x$
$\mathrm{两}\mathrm{角}\mathrm{和}\mathrm{差}\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{展}\mathrm{开}\mathrm{整}\mathrm{理}$
$a\cdot (\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{3}{2}\cos x$
$a=\sqrt{3}$