202601052

$\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{与}\mathrm{为}R，\mathrm{且}\mathrm{对}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{数}x，\mathrm{都}\mathrm{有}f(x)=f(x-2)-f(4-x),\mathrm{且}f(0)=2$
$\mathrm{下}\mathrm{列}\mathrm{说}\mathrm{法}\mathrm{正}\mathrm{确}\mathrm{的}\mathrm{是}()$

• $A.f(x)\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}$
• $B.f(x)\mathrm{为}\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{且}12\mathrm{是}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{周}\mathrm{期}$
• $C.f(4)=-1$
• $D.{\displaystyle \sum _{k=1}^{25}f(2k)=2}$

$f(x)=f(x-2)-f(4-x),f(0)=2$
$\mathrm{令}x=2,f(2)=f(0)-f(2)\Rightarrow f(2)=1$
$\mathrm{令}x=4,f(4)=f(2)-f(0)=-1$

$x+2\mathrm{替}\mathrm{换}x，f(x+2)=f(x)-f(2-x)\Rightarrow f(x)=f(x+2)-f(2-x)$
$-x\mathrm{替}\mathrm{换}x,f(-x)=f(2-x)+f(2+x)$
$\therefore f(-x)=f(x),f(x)\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}$

$f(x)=f(x-2)-f(4-x),x+4\mathrm{替}\mathrm{换}x$
$f(x+4)=f(x+2)-f(-x)$
$f(x+4)+f(-x)=f(x+2)$
$\because f(-x)=f(x)$
$f(x+4)+f(x)=f(x+2)$
$f(x+6)+f(x+2)=f(x+4)\Rightarrow f(x+2)=f(x+4)-f(x+6)$
$f(x+6)=-f(x)\Rightarrow T=12$
$\because f(x+6+6)=-f(x+6)=f(x)$

$f(0)=2,f(2)=1,f(4)=-1$
$f(6)=f(4)-f(2)=-2$
$f(8)=f(6)-f(4)=-1$
$f(10)=f(8)-f(6)=1$
$f(12)=f(10)-f(8)=2$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{25}f(2k)=f(50)=f(2)=1}$