202601051

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{为}R,\mathrm{且}f(x-1)\mathrm{是}\mathrm{的}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数},f(x+1)\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}，\mathrm{则}()$

• $A.f(1)=0$
• $B.f(x)\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{为}4$
• $C.f(x)\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{为}(11,0)$
• $D.f(1)+f(2)+f(3)+\cdot \cdot \cdot +f(2024)=0$

$f(x-1)\mathrm{是}\mathrm{的}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{于}$
$🆚f(-x-1)=-f(x-1)$
$🆚y=f(x)\mathrm{向}\mathrm{右}\mathrm{平}\mathrm{移}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{原}\mathrm{点}\mathrm{对}\mathrm{称},\mathrm{所}\mathrm{以}f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}(-1,0)\mathrm{对}\mathrm{称}$
$f(x+1)\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{于}$
$🆚f(-x+1)=f(x+1)$
$🆚y=f(x)\mathrm{向}\mathrm{左}\mathrm{平}\mathrm{移}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{关}\mathrm{于}y\mathrm{轴}\mathrm{对}\mathrm{称},\mathrm{所}\mathrm{以}f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=1\mathrm{对}\mathrm{称}$

$f(-x-1)=-f(x-1)\underrightarrow{x\mathrm{用}x+1\mathrm{代}\mathrm{换}}f(-x-2)=-f(x)$
$f(-x+1)=f(x+1)\underrightarrow{x\mathrm{用}x-1\mathrm{代}\mathrm{换}}f(-x+2)=f(x)$
$f(-x-2)=-f(-x+2)\Rightarrow f(x-2)=-f(x+2)$
$f(x+2)=-f(x-2)\Rightarrow f(x+4)=-f(x)$
$f(x+4)=-f(x)\underrightarrow{x\mathrm{用}x+4\mathrm{代}\mathrm{换}}f(x+8)=-f(x+4)=f(x)$
$\therefore 8\mathrm{是}f(x)\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{周}\mathrm{期}$

$(-1,0)\mathrm{是}f(x)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}，x=1\mathrm{是}f(x)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}$
$\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{和}\mathrm{轴}\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离}\mathrm{为}\frac{T}{4}$
$\therefore T=8$

$f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}(-1,0)\mathrm{对}\mathrm{称}，\mathrm{所}\mathrm{以}f(-1)=0$
或者
$f(-x-1)=-f(x-1)\underrightarrow{\mathrm{赋}\mathrm{值}x=0}f(-1)=-f(1)\Rightarrow f(-1)=0$
$\mathrm{对}\mathrm{于}f(1)\mathrm{是}\mathrm{无}\mathrm{法}\mathrm{确}\mathrm{定}\mathrm{的}，\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{等}\mathrm{于}0，\mathrm{也}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{于}0$

$8\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{是}f(x)\mathrm{的}\mathrm{周}\mathrm{期}，\mathrm{但}\mathrm{不}\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{是}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{的}\mathrm{正}\mathrm{周}\mathrm{期}$
$4\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{是}f(x)\mathrm{的}\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{也}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{不}\mathrm{是}$

$\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{性}，\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}（\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}）\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{点}\mathrm{也}\mathrm{是}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}，\mathrm{而}\mathrm{且}\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{性}\mathrm{变}\mathrm{化}$
$\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{对}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}（\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}）\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{依}\mathrm{然}\mathrm{是}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}，\mathrm{也}\mathrm{呈}\mathrm{现}\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{性}\mathrm{变}\mathrm{化}$
$\mathrm{所}\mathrm{以}(-1,0)\mathrm{关}\mathrm{于}x=1\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{点}(3,0)\mathrm{是}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}，x=1\mathrm{关}\mathrm{于}(3,0)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{直}\mathrm{线}x=5\mathrm{仍}\mathrm{是}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}$
$(3,0)\mathrm{关}\mathrm{于}x=5\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{点}(7,0)\mathrm{是}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\cdot \cdot \cdot$
$\therefore (11,0)\mathrm{是}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}$

$\mathrm{由}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{对}\mathrm{称}f(1)=-f(5),f(2)=-f(4),f(6)=-f(8)$
$\mathrm{由}\mathrm{轴}\mathrm{对}\mathrm{称}f(-1)=f(3)=f(7)=f(11)=\cdot \cdot \cdot =f(2023)=0$
$\mathrm{由}\mathrm{周}\mathrm{期}\mathrm{性}f(1)=f(9)=f(17)=\cdot \cdot \cdot =f(2025)$
$\mathrm{抓}\mathrm{取}\mathrm{有}\mathrm{用}\mathrm{信}\mathrm{息}$
$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0$
$2024÷8=253$
$\therefore f(1)+f(2)+f(3)+\cdot \cdot \cdot +f(2024)$
$=253\times [f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)]=0$

graph TB
A[双对称]-->B[对称轴]
A-->C[对称中心]
B-->D[图像平移理解]
B-->E[表达式理解]
C-->D
C-->E
E-->F[赋值求解]
F-->G[周期]