2022601172

题目

$已知函数 f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0) 在 (\frac{π}{6}, \frac{π}{3}) 上有最小值，无最大值，且 f (\frac{π}{6}) = f (\frac{π}{3})$
$(1) 求 f (x) 的最小正周期$
$(2), 将函数 f (x) 的图象向右平移 φ (0 < φ < \frac{π}{6}) 个单位长度后等到$
$g (x) 的图象，且对满足 | f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 2 的 x_{1}, x_{2} 有 | x_{1} - x_{2} |_{min} = \frac{π}{7}$
$(ⅰ) 求 φ 的值$
$(ⅱ) 若对任意的 x_{1}, x_{2} \in [- \frac{π}{7}, \frac{π}{7}], 都有 f (x_{1}) < g (x_{2}) + m 成立$
$求实数 m 的取值范围$

解析

$从图象的角度考虑入手$

注意发现其区别

(1)

$只有最小值没有最大值, 且 f (\frac{π}{6}) = f (\frac{π}{3})$
$所以 x = \frac{π}{4} 时，取得最小值$
$且 \frac{π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{π}{6} \leq T = \frac{2 π}{ω} \Rightarrow 0 < ω \leq 12$
$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π ω}{4} + \frac{π}{3}) = - 1 \Rightarrow \frac{π ω}{4} + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2} + 2 k π, k \in Z$
$ω = - \frac{10}{3} + 8 k$
$k 只能等于 1 ， ω = \frac{14}{3}$
$所以 f (x) 的最小正周期为 \frac{3 π}{7}$

(2)(ⅰ)

$g (x) = f (x - φ) = \sin [\frac{14}{3} (x - φ) + \frac{π}{3}]$
$| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 2$
$f (x_{1}) 与 g (x_{2}), 必然是一个取 1 ，一个取 - 2$
$不妨设 f (x_{1}) = 1, g (x_{2}) = - 1$
$则 {\begin{cases} \frac{14}{3} x_{1} + \frac{π}{3} = \frac{π}{2} + 2 k_{1} π \\ \frac{14}{3} (x_{2} - φ) + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2} + 2 k_{2} π, \end{cases} k_{1}, k_{2} \in Z$
${\begin{cases} x_{1} = \frac{π}{28} + \frac{3 k_{1} π}{7} \\ x_{2} = - \frac{5 π}{28} + \frac{3 k_{2} π}{7} + φ \end{cases}$
$x_{2} - x_{1} = - \frac{3 π}{14} + \frac{3 π}{7} (k_{2} - k_{1}) + φ$
$设 k_{2} - k_{1} = k$
$x_{2} - x_{1} = - \frac{3 π}{14} + \frac{3 π}{7} k + φ$
$| x_{1} - x_{2} |_{min} = \frac{π}{7}, 0 < φ < \frac{π}{6}$
$∴ k = 0 \Rightarrow φ = \frac{π}{14}$

(2)(ⅱ)

$g (x) = \sin \frac{14}{3} x, f (x) = \sin (\frac{14}{3} x + \frac{π}{3})$
$f (x_{1}) < g (x_{2}) + m 恒成立的条件是 f (x_{1})_{max} < [g (x_{2}) + m]_{min}$
$下面求 f (x) 在 [- \frac{π}{7}, \frac{π}{7}] 的最大值和 g (x) 在 [- \frac{π}{7}, \frac{π}{7}] 的最小值$
$x \in [- \frac{π}{7}, \frac{π}{7}], \frac{14}{3} x + \frac{π}{3} \in [- \frac{π}{3}, π], f (x)_{max} = 1$
$x \in [- \frac{π}{7}, \frac{π}{7}], \frac{14}{3} x \in [- \frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3}], g (x)_{min} = - 1$
$∴ 1 < - 1 + m \Rightarrow m > 2$