2020601211

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=\{\begin{array}{l}-x^2+4x,2\le x\le 3\\ \frac{x^2+2}{x},3<x\le 4\end{array},g(x)=ax+1,\mathrm{若}\mathrm{对}\mathrm{任}\mathrm{意}{x}_1\in [2,4],$
$\mathrm{存}\mathrm{在}{x}_2\in [-2,1],\mathrm{使}\mathrm{得}f(x_1)=g(x_2),\mathrm{求}\mathrm{实}\mathrm{数}a\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}$

$\mathrm{由}\mathrm{题}\mathrm{可}\mathrm{知}，f(x)\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{为}g(x)\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{的}\mathrm{子}\mathrm{集}$
$2\le x\le 3\mathrm{时},f(x)\in [3,4]$
$3<x\le 4\mathrm{时},f(x)\in [\frac{11}{3},\frac{9}{2}]$
$\therefore f(x)\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{为}[3,\frac{9}{2}]$

$\mathrm{对}\mathrm{于}g(x)\mathrm{要}\mathrm{分}\mathrm{类}\mathrm{讨}\mathrm{论}$
$1^{\circ }a=0,\mathrm{此}\mathrm{时}g(x)\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{为}\{1\}$
$[3,\frac{9}{2}]\subseteq \{1\}\mathrm{不}\mathrm{成}\mathrm{立}$
$2^{\circ }a>0,g(x)\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{为}[-2a+1,a+1]$
$[3,\frac{9}{2}]\subseteq [-2a+1,a+1]$
$\therefore \{\begin{array}{l}a>0\\ -2a+1\le 3\\ a+1\ge \frac{9}{2}\end{array},\mathrm{解}\mathrm{得}a\ge \frac{7}{2}$
$3^{\circ }a<0,g(x)\mathrm{的}\mathrm{值}\mathrm{域}\mathrm{为}[a+1,-2a+1]$
$\therefore \{\begin{array}{l}a<0\\ a+1\le 3\\ -2a+1\ge \frac{9}{2}\end{array},\mathrm{解}\mathrm{得}a\le -\frac{7}{4}$

$a\ge \frac{7}{2}\mathrm{或}a\le -\frac{7}{4}$