函数新定义

$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x),g(x),h(x)\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{均}\mathrm{为}R，\mathrm{定}\mathrm{义}:$
$\mathrm{①}\mathrm{若}\mathrm{存}\mathrm{在}n\mathrm{个}\mathrm{互}\mathrm{不}\mathrm{相}\mathrm{同}\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{数}{x}_1,x_2,\cdots ,x_n,\mathrm{使}\mathrm{得}$
$f(g(x_i))=h(f(x_i))(i=1,2,3,\cdots ,n),\mathrm{则}\mathrm{称}g(x)\mathrm{与}h(x)\mathrm{关}\mathrm{于}f(x)\text{“n维交换”};$
$\mathrm{②}\mathrm{若}\mathrm{对}\mathrm{任}\mathrm{意}x\in R,\mathrm{恒}\mathrm{有}f(g(x))=h(g(x)),\mathrm{则}\mathrm{称}g(x)\mathrm{与}h(x)\mathrm{关}\mathrm{于}f(x)\text{“任意交换”}$

$(1)\mathrm{判}\mathrm{断}\mathrm{函}\mathrm{数}g(x)=x-5\mathrm{与}h(x)=x+2\mathrm{是}\mathrm{否}\mathrm{关}\mathrm{于}f(x)=|x|\text{“1维交换”}，$
$\mathrm{并}\mathrm{说}\mathrm{明}\mathrm{理}\mathrm{由}$
$(2)\mathrm{设}f(x)=p{x}^2+1(p\ne 0),g(x)=x^2+qx+1,\mathrm{若}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{函}\mathrm{数}h(x),\mathrm{使}\mathrm{得}$
$g(x)\mathrm{与}h(x)\mathrm{关}\mathrm{于}f(x)\text{“任意交换”},\mathrm{求}q\mathrm{的}\mathrm{值}$
$(3)\mathrm{设}g(x)=k|x^2-2x|,h(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2+1,x>0\\ 0,x=0\\ x^2-1,x<0\end{array},\mathrm{若}g(x)\mathrm{与}h(x)\mathrm{关}\mathrm{于}f(x)=x$
$\text{“3维交换”}，\mathrm{求}\mathrm{实}\mathrm{数}k\mathrm{的}\mathrm{值}$