柯西法（补充）

📚定义

我们把 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ 称作柯西方程，可以得到
$f (x) = a x, a = f (1)$
仅适用于个别问题

几个用途（ $以下各个问题都忽略了 f (x) = 0 情况$ ）

问题1

$f (x + y) = f (x) + f (y) - 1$
构造
$f (x + y) - 1 = f (x) - 1 + f (y) - 1$
换元
$g (x) = f (x) - 1$
$即有 g (x + y) = g (x) + g (y)$
$∴ g (x) = a x \Rightarrow f (x) = a x + 1, a = f (1)$

问题2

$已知 f (x + y) = f (x) f (y), 且 f (x) \neq 0$
$把 x 、 y 都用 \frac{x}{2} 代换可得 f (x) = f^{2} (\frac{x}{2}) > 0$

两边取对数
$\ln f (x + y) = \ln [f (x) f (y)] = \ln f (x) + \ln f (y)$
换元
$设 g (x) = \ln f (x)$
$则有 g (x + y) = g (x) + g (y)$
$从而有 g (x) = a x \Rightarrow f (x) = e^{a x} = (e^{a})^{x}, a = g (1) = \ln f (1)$

问题3

$已知定义在 (0, + \infty) 的函数 f (x) 满足 f (x y) = f (x) + f (y)$
思考一下再看答案

解析

$令 x = e^{m}, y = e^{n}$
$则有 f (e^{m} e^{n}) = f (e^{m + n}) = f (e^{x}) + f (e^{n})$
$设 g (x) = f (e^{x})$
$g (m + n) = g (m) + g (n)$
$∴ g (x + y) = g (x) + g (y)$
$g (x) = a x$
$f (e^{x}) = a x \Rightarrow f (x) = a \ln x = \log_{e^{\frac{1}{a}}} x$

问题2和问题3可以说明

在不考虑常函数的情况下
$f (x + y) = f (x) f (y), 可得到 f (x) 是指数函数$
$f (x y) = f (x) + f (y), 可得到 f (x) 是对数函数$

温馨提示：

指对运算也是和与积的一种转化方式

问题4

$试着把满足 f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y 的函数改造成柯西方程形式$
$求出其函数形式$

解析

$构造$
$f (x + y) + (x + y)^{2} = f (x) + x^{2} + f (y) + y^{2}$
$令 g (x) = f (x) + x^{2}$
$则 g (x + y) = g (x) + g (y)$
$g (x) = a x$
$f (x) = a x - x^{2}$

Tip

$f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y 是二次无常数项函数型$

江南十校第18题

$f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y + 2$
$改造$
$f (x + y) + (x + y)^{2} + 2 = f (x) + x^{2} + 2 + f (y) + y^{2} + 2$
则可以得到
$g (x) = f (x) + x^{2} + 2$
$则 g (x + y) = g (x) + g (y)$
$f (x) = - x^{2} + a x + 2$