💖恒成立与有解的理解

📚基本类型

问题类型	关键词	逻辑含义	转化思路	核心动作
恒成立问题	任意，所有，总是	无一例外的保证	$f (x) > m 恒成立，$ $f (x) < m 恒成立$	$m < f (x) 的最小值$ $m > f (x) 的最大值$
能成立问题	存在，有，至少一个	至少有一个特例即可	$f (x) > m 能成立$ $f (x) < m 能成立$	$m < f (x) 的最大值$ $m > f (x) 的最小值$

🔥记忆口诀：

恒成立：要赢就赢最难的**（比最大值还大，或比最小值还小）。
能成立：能赢最简单的就行（比最大值小，或比最小值大）。

📚其他类型总结

$1. 对 \forall x \in D, f (x) < g (x) {\begin{cases} 若为证明则可以优先考虑 f (x)_{m a x} < g (x)_{m i n} （不一定能用） \\ 若为求解问题则 f (x) - g (x) < 0, 求 y = f (x) - g (x) 的最大值 < 0 \\ 分离参数法 \end{cases}$
$2. 对 \forall x_{1} \in D, \forall x_{2} \in I 都有 f (x_{1}) < g (x_{2}) \Rightarrow f (x)_{m a x} < g (x)_{m i n}$
$3. 对 \forall x_{1} \in D, \exists x_{2} \in I 都有 f (x_{1}) < g (x_{2}) \Rightarrow f (x)_{m a x} < g (x)_{m a x}$
$4. 对 \exists x_{1} \in D, \exists x_{2} \in I 都有 f (x_{1}) < g (x_{2}) \Rightarrow f (x)_{m i n} < g (x)_{m a x}$

方程类

$对 \forall x_{1} \in D, \exists x_{2} \in I 都有 f (x_{1}) = g (x_{2})$
$设 f (x) 的值域为 A, g (x) 的值域为 B, 则 A \subseteq B$

典例

$对 \forall x \in (0, + \infty), 不等式 (x - a + \ln \frac{x}{a}) (- 2 x^{2} + a x + 10) \leq 0 恒成立，求 a 的值$

解析202601041

💖命题与逻辑关系