💖奇偶性（对称性）

$\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{为}D,\mathrm{对}\mathrm{\forall }x\in D,\mathrm{有}f(-x)=-f(x),\mathrm{则}\mathrm{成}f(x)\mathrm{为}D\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}$

奇函数的图像关于原点对称

$f(-x)+f(x)=0$
$f(a-x)+f(a+x)=2b$

$\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}\mathrm{为}D,\mathrm{对}\mathrm{\forall }x\in D,\mathrm{有}f(-x)=f(x),\mathrm{则}\mathrm{成}f(x)\mathrm{为}D\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}$

偶函数的图像关于y轴对称

$f(-x)f(x)$
$f(a-x)=f(a+x)$

$y=f(x+1)\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}$

$\mathrm{代}\mathrm{数}\mathrm{式}\mathrm{表}\mathrm{示}：f(-x+1)=-f(x+1)$
$\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{变}\mathrm{换}\mathrm{表}\mathrm{示}：y=f(x)\mathrm{想}\mathrm{做}\mathrm{平}\mathrm{移}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{后}\mathrm{是}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$\mathrm{结}\mathrm{论}：y=f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}(1,0)\mathrm{对}\mathrm{称}$
对比
$f(-x-1)=-f(x+1),f(x)\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$f(-2x-1)=-f(2x+1),f(x)\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$f(-2x+1)=-f(2x+1),f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}(1,0)\mathrm{对}\mathrm{称}$

$y=f(x+1)\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}$

$\mathrm{代}\mathrm{数}\mathrm{式}\mathrm{表}\mathrm{示}：f(-x+1)=f(x+1)$
$\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{变}\mathrm{换}\mathrm{表}\mathrm{示}：y=f(x)\mathrm{想}\mathrm{做}\mathrm{平}\mathrm{移}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{后}\mathrm{是}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$\mathrm{结}\mathrm{论}：y=f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=1\mathrm{对}\mathrm{称}$
对比
$f(-x-1)=f(x+1),f(x)\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$f(-2x-1)=f(2x+1),f(x)\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}$
$f(-2x+1)=f(2x+1),f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=1\mathrm{对}\mathrm{称}$

$y={\displaystyle \frac{a^x-1}{a^x+1}}=1-{\displaystyle \frac{2}{a^x+1}}$
$y=\lg ({\displaystyle \frac{1-x}{1+x}})$
$y=2^x-2^{-x}$
$y=2^x+2^{-x}$
$y=\lg ({10}^x+1)-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$
你能确定那个是奇函数，哪个是偶函数吗？，类似你还能想到什么？

$y={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}(c\ne 0)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{为}(-{\displaystyle \frac{d}{c}},{\displaystyle \frac{a}{c}})$
$y={\displaystyle \frac{1}{a^x+1}}(a>0,a\ne 1)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{为}(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$

$y=f(x-1)\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{函}\mathrm{数}$
翻译
$\mathrm{①}f(-x-1)=f(x-1)$
$\mathrm{②}y=f(x)\mathrm{关}\mathrm{于}x=-1\mathrm{对}\mathrm{称}$
$\mathrm{③}y=f(x)\mathrm{向}\mathrm{右}\mathrm{平}\mathrm{移}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{后}\mathrm{关}\mathrm{于}y\mathrm{轴}\mathrm{对}\mathrm{称}$
都是等价的

📚题目1
$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{在}[2,+\mathrm{\infty })\mathrm{上}\mathrm{是}\mathrm{增}\mathrm{函}\mathrm{数}，y=f(x+2)\mathrm{关}\mathrm{于}y\mathrm{轴}\mathrm{对}\mathrm{称}$
$\mathrm{若}f(t)-f(3-2t)>0,\mathrm{求}\mathrm{实}\mathrm{数}t\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}$
奇偶性1

📚题目2
$\mathrm{判}\mathrm{断}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=\ln (x-1)+\ln (3-x)\mathrm{是}\mathrm{否}\mathrm{具}\mathrm{有}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{性}，\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{有}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{性}，\mathrm{求}\mathrm{其}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}\mathrm{或}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}$
对称性2

📚题目3
$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=(x+1)(x^2+ax+b)\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{点}(1,0)\mathrm{对}\mathrm{称}，\mathrm{求}a+2b$
对称性3

📚题目4
$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=x^3+m{x}^2+nx+1\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{点}(2,5)\mathrm{成}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{图}\mathrm{形}，\mathrm{求}m+n$
对称性4

📚题目5
$\mathrm{已}\mathrm{知}\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=\ln {\displaystyle \frac{x}{4-x}}+x$
$(1)\mathrm{求}\mathrm{证}：\mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{图}\mathrm{像}\mathrm{关}\mathrm{于}\mathrm{点}(2,2)\mathrm{对}\mathrm{称}$
$(2)\mathrm{解}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}f(2x-1)+f(x+2)>4$
对称性5