💖基本不等式

📚基本原理

$(a - b)^{2} \geq 0 \Rightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ ----1️⃣

$用 \sqrt{a} 去替换 a ，用 \sqrt{b} 去替换 b 即可得到 a + b \geq 2 \sqrt{a b} \Rightarrow \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$

1️⃣的两边都加上 $a^{2} + b^{2} \Rightarrow 2 (a^{2} + b^{2}) \geq (a + b)^{2} \Rightarrow \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$

一 个 变 形 方 法

$\sqrt{a b} = \frac{a b}{\sqrt{a b}} \geq \frac{a b}{\frac{a + b}{2}} \Rightarrow \frac{2 a b}{a + b} = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b}$

Note

从小到大
$调和平均数 \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$
$几何平均数 \sqrt{a b}$
$算术平均数 \frac{a + b}{2}$
$平方平均数 \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$

提醒:重点不是记住结论，而是理解其相互间的关系

📚几何理解

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📚和与积

⭐一正二定三等
$a b = t (定值) ，则 a + b 有最小值 2 \sqrt{t}$
$a + b = S (定值) ， a b 有最大值 \frac{S^{2}}{4}$

Note

$a^{2} + b^{2} + a b = 1, 讨论 a + b, a b ， a^{2} + b^{2} 的最值问题$
基本不等式解答
有点难但是值得研究一下

📚分析法

$如何证明 \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b}$
🎯分析法（一种很好用的证明方法）
$要证明 \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b}$
$只需证明 \frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b}$
$∴ a > 0, b > 0$
$即证 \frac{2 \sqrt{a b}}{a + b} \leq 1$
$即证 2 \sqrt{a b} \leq a + b$
$上式显然成立所以原命题成立$
命题得证