💖带ω的问题专题

看此题之前先处理好下面链接中的例题5

题目1

$已知函数 f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π), 在 [- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}] 上单调，$
$f (x) 的图像关于点 (- \frac{2 π}{3}, 0) 中心对称且关于直线 x = \frac{5 π}{6} 对称，则$
$ω 的取值个数为（）$

相对于单调性，对称性更方便处理
$根据对称性得$
${\begin{cases} - \frac{2 π}{3} ω + φ = k_{1} π . . . ① \\ \frac{5 π}{6} ω + φ = k_{2} π + \frac{π}{2} . . . ② \end{cases}, k_{1}, k_{2} \in Z$
$ω = \frac{2}{3} [k_{2} - k_{1} + \frac{1}{2}]$
$ω = \frac{2}{3} k + \frac{1}{3} (k \in Z)$

下面的常规写法在本题中有些笨拙

$f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π), 在 [- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}] 上单调$
$[- \frac{π}{3} ω + φ, \frac{π}{6} ω + φ] \subseteq [- \frac{π}{2} + k_{3} π, \frac{π}{2} + k_{3} π], k_{3} \in Z$
${\begin{cases} - \frac{π}{3} ω + φ \geq - \frac{π}{2} + k_{3} π \\ \frac{π}{6} ω + φ \leq \frac{π}{2} + k_{3} π \end{cases}$
$φ 可以用 ω 代换但是很麻烦$
。。。

换个思路

$根据单调区间的长度一定小于等于半个周期 \frac{T}{2} = \frac{π}{ω}$
$[\frac{π}{6} - (- \frac{π}{3})] \leq \frac{π}{ω}$
$0 < ω \leq 2$
$结合 ω = \frac{2}{3} k + \frac{1}{3} (k \in Z)$
$k = 0, 1 或 2$

Continue

$k = 0 时, ω = \frac{1}{3}, 结合 ① 和 0 < φ < π \Rightarrow φ = \frac{2 π}{9}$
$验证 f (x) = \sin (\frac{1}{3} x + \frac{2 π}{9}) 在 [- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}] 上是否单调$

两种方式（1）

$小题用五点作图观察对称轴或直接找最值 T = 6 π$
$令 \frac{1}{3} x + \frac{2 π}{9} = \frac{π}{2} \Rightarrow x = \frac{5 π}{18}$
$最大值左边半个周期为增区间，右边半个周期为减区间$
$[- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}] \subseteq [- \frac{49 π}{18}, \frac{5 π}{18}]$
$∴ ω = 0 成立$

两种方式（2）

$直接求 f (x) = \sin (\frac{1}{3} x + \frac{2 π}{9}) 的单调区间或$
$对 \frac{1}{3} x + \frac{2 π}{9} 整体范围进行判断（复合函数的思想）$
$x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}] \Rightarrow \frac{1}{3} x + \frac{2 π}{9} \in [\frac{π}{9} \frac{5 π}{18}] \subseteq [- \frac{π}{2} \frac{π}{2}]$
$∴ ω = 0 成立$

Continue

$对于 ω = 1, 2 同理判断即可$
$结论： ω = \frac{1}{3} 或 \frac{5}{3} 两个$

参考4.💖三角函数图像性质综合应用