💖三角形中的角常用关系

问题1.

$△ A B C 中， A < B 是 \sin A < \sin B 的充要条件$

解析

方法（一）
充分性：
$(1) 若 A 、 B \in (0, \frac{π}{2}], 根据正弦函数单调性显然成立$
$(2) 若 B 为钝角，则 π - B < \frac{π}{2}$
$∵ A + B + C = π$
$∴ A + B < π$
$A < π - B < \frac{π}{2}$
$\sin A < \sin (π - B) = \sin B$
必要性：
$若 \sin A < \sin B$
$首先 A 为直角不成立$
$(1) 当 A 、 B \in (0, \frac{π}{2}]$
$则 A < B$
$(2) 若 A 为钝角, 根据 A + B + C = π, B 一定是锐角$
$π - A < \frac{π}{2}$
$\sin A = \sin (π - A) < \sin B$
$∴ π - A < B \Rightarrow A + B > π, 显然不成立$
$∴ A < B$
$综上 A < B 是 \sin A < \sin B 的充要条件$
方法二:
$根据正弦定理 + 大角对大边，显然成立$

三角形中常用结论

$\sin (A + B) = \sin C$
$\cos (A + B) = - \cos C$
$\sin \frac{A + B}{2} = \cos \frac{C}{2}$
$\cos \frac{A + B}{2} = \sin \frac{C}{2}$

问题2.

$锐角 △ A B C 中, \sin A > \cos B$

解析

$∵ △ A B C 为锐角三角形$
$∴ A + B > \frac{π}{2} \Rightarrow A > \frac{π}{2} - B$
$∴ \sin A > \sin (\frac{π}{2} - B) = \cos B$
可叙述为锐角三角形中任一角的正弦值大于另一角的余弦值

问题3.

$在 △ A B C 中， \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$

证明

$A + B + C = π, \tan (A + B) = - \tan C$
$\tan A + \tan B = \tan (A + B) (1 - \tan A \tan B)$
$∴ 左边 = - \tan C (1 - \tan A \tan B) + \tan C$
$= - \tan C + \tan A \tan B \tan C + \tan C = 右边$