💖三角函数的对称性

#对称轴 #对称中心 #奇偶性 #正切函数

函数	对称中心	对称轴
$y = \sin x$	$(k π, 0)$	$x = k π + \frac{π}{2}$
$y = \cos x$	$(k π + \frac{π}{2}, 0)$	$x = k π$
$y = \cos x$	$(k π + \frac{π}{2}, 0)$	$x = k π$

题目1

$求 y = \sin (2 x - \frac{π}{4}) 的对称轴和对称中心$

$2 x - \frac{π}{4} = k π \Rightarrow x = \frac{k π}{2} + \frac{π}{8}, 得到对称中心为 (\frac{k π}{2} + \frac{π}{8}, 0), k \in Z$
$2 x - \frac{π}{4} = k π + \frac{π}{2} \Rightarrow x = \frac{k π}{2} + \frac{3 π}{8}, 得到对称轴为 x = \frac{k π}{2} + \frac{3 π}{8}, k \in Z$

题目2

$求 y = \tan (\frac{1}{2} x) + 1 的对称中心$

$\frac{1}{2} x = \frac{k π}{2} \Rightarrow x = k π 得到对称中心为 (k π, 1), k \in Z$

题目3

$y = \sin (2 x + φ) 的一个对称中心为 (\frac{π}{4}, 0), 求 φ 的值$

$2 \cdot \frac{π}{4} + φ = 0 \Rightarrow φ = - \frac{π}{2}$
$φ 一定是 - \frac{π}{2} 吗 ? ? ?$
$准确的写法是什么？$

题目4

$已知 y = \sin (ω x + φ) (ω > 0) 的一个对称中心为 (\frac{π}{6}, 0), x = \frac{π}{4} 为函数的一条对称轴,$
$求 ω 的最小值$

$根据 T = \frac{2 π}{ω}$
$ω 最小 \Leftrightarrow T 最大 \Leftrightarrow 题中给的中心和轴之间没有其他的对称中心和轴$
$中心和轴的距离为 \frac{T}{4} = \frac{π}{4} - \frac{π}{6} = \frac{π}{12}$
$如果还有其他的中心和轴则 \frac{T}{4} < \frac{π}{4} - \frac{π}{6} = \frac{π}{12}$
$T 的最大值为 \frac{π}{3} \Rightarrow ω 的最小值为 6$

综合练习

$已知函数 f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2}) 的部分图象如图所示$
$下列结论正确的是 ()$
Pasted image 20260107094308.png

$A . φ = \frac{2 π}{5}$
$B . f (x) 的对称中心为 (\frac{k π}{2} - \frac{π}{10}, 0) (k \in Z)$
$C . y = f (x + \frac{π}{20}) 是偶函数$
$D . y = f (x + \frac{π}{20}) 的单调递增区间为 [k π - \frac{π}{2}, k π] (k \in Z)$

解析202601071