双曲正余弦弦函数

双曲正弦函数

$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

双曲余弦函数

$\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

应用领域

悬链线方程：在重力场中均匀柔索的形状为 y=acosh⁡(x/a)y=acosh(x/a)，其导数含 sinh⁡sinh。
相对论：双曲函数常用于狭义相对论中的洛伦兹变换（快度）。
微分方程：常见于双曲型偏微分方程的解。
复变函数：sinh⁡(iz)=isin⁡zsinh(iz)=isinz，联系三角函数与双曲函数。

与三角函数的类似点

$\sinh (x + y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$
$\cosh (x + y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y$
$\cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1$
$\sinh 2 x = 2 \sinh x \cosh x$
$\cosh 2 x = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x = 1 + 2 \sinh^{2} x = 2 \cosh^{2} x - 1$